Funciones crecientes, decrecientes y discontinuas

¿La salida sube, baja, o el trazo se rompe?

Precálculo llama creciente a una función en un intervalo cuando los valores de la función aumentan mientras las entradas aumentan dentro de ese intervalo. La llama decreciente cuando los valores disminuyen mientras las entradas aumentan. La tasa de cambio promedio de una creciente es positiva. La de una decreciente es negativa. En los conceptos clave queda la versión corta: creciente cuando su tasa de cambio es positiva y decreciente cuando es negativa. ^{1 2}

No toda función hace una sola de las dos en todo el dominio. El valor de la entrada donde pasa de creciente a decreciente, leída de izquierda a derecha, es la ubicación de un máximo local. El valor de la función ahí es el máximo local. El mínimo local es el paso contrario, de decreciente a creciente, con una salida menor que las vecinas. Esos puntos también se llaman extremos. ^{3 2}

Eso no es una discontinuidad. El pico puede estar perfectamente unido. La continuidad se define aparte, en cálculo. Para ser continua en un punto, la función tiene que estar definida en ese punto, el límite tiene que existir ahí, y el valor de la función en el punto tiene que ser igual al valor del límite. Si no es continua en el punto, es discontinua en ese punto. Las discontinuidades se clasifican como removibles, de salto o infinitas. ^{5 6}

En un intervalo, la imagen del libro es un trazo que se puede recorrer con un lápiz sin levantarlo del papel. En un intervalo abierto, continua significa continua en cada punto del intervalo. ^{7 5}

El dominio entra en la primera condición. Si en un número la fórmula no existe, la función no está definida ahí y no puede ser continua en ese punto. Qué entradas se caen por un denominador o por una raíz par está en qué números deja fuera el dominio.

Una recta ayuda a ver el crecimiento sin cálculo. Si la pendiente es positiva, los valores de salida aumentan cuando aumentan las entradas, y la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. Si la pendiente es negativa, las salidas bajan y la recta se inclina hacia abajo. Si la pendiente es cero, la salida es la misma para todas las entradas: es constante, una horizontal. ⁴

Ideas clave

• Creciente. Al aumentar la entrada, aumenta la salida. La tasa promedio es positiva. ^{1 2}
• Decreciente. Al aumentar la entrada, la salida baja. La tasa promedio es negativa. ¹
• Máximo local. Pasa de crecer a decrecer. El mínimo local es el paso inverso. ³
• Continua en un punto. Definida, límite existente, y el valor igual al límite. ⁵
• Discontinua. No cumple eso. El libro separa removible, de salto e infinita. Un máximo local no es, por sí solo, una discontinuidad. ⁶

Ejemplos resueltos

Recta que sube

$f(x) = 4x - 1$ en todos los reales.

1. De $x = 0$ a $x = 2$, $f(0) = -1$ y $f(2) = 7$. La salida aumentó mientras la entrada aumentó.
2. La diferencia de salidas entre la de entradas es positiva: $\frac{7 - (-1)}{2 - 0} = 4$. ²
3. La pendiente es positiva, así que la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. ⁴
4. Es creciente en todo su dominio. No hay tramo donde baje. ¹
5. Está definida en cada real y el trazo no se corta. No hay un punto donde falle la definición. ⁵

Sube y luego baja

$f(x) = -x^{2} + 4$.

1. En $x = 0$, $f(0) = 4$. En $x = -2$, $f(-2) = 0$. En $x = 2$, $f(2) = 0$.
2. De $-2$ a $0$ la salida pasa de 0 a 4: sube. De $0$ a $2$ pasa de 4 a 0: baja.
3. En $x = 0$ pasa de creciente a decreciente. Ahí hay un máximo local, y el valor es 4. ³
4. El punto $(0, 4)$ está en la gráfica. La función vale 4 ahí. No es un hueco.
5. No llames discontinuidad a ese máximo. La discontinuidad exige fallar la definición de continua, y este punto está en el trazo. ^{5 6}

Un hueco forzado

$h(x) = \frac{1}{x - 2}$.

1. En $x = 2$ el denominador es cero. La función no está definida.
2. La primera condición de la continuidad en ese punto falla. ⁵
3. Es discontinua en $x = 2$. ⁶
4. En un intervalo que no contiene al 2, por ejemplo $(2, \infty)$, el trazo no pide levantar el lápiz por ese corte. La frase del lápiz es para el intervalo donde sí se recorre. ⁷
5. El dominio, sin el 2, está en la página de dominio. Aquí el dato nuevo es que ese hueco es una discontinuidad, no un máximo.

Errores comunes

Dices que decrece porque los valores son negativos. $f(x) = 4x - 10$ vale negativo un rato y aun así sube: de $x = 0$ a $x = 1$ pasa de $-10$ a $-6$. Crecer es comparar, no el signo de la salida. ¹

Marcas el máximo local como discontinuidad. El máximo es un cambio de creciente a decreciente. La discontinuidad es no cumplir las tres condiciones en el punto. Un pico incluido en la gráfica no es un salto. ^{3 5}

Llamas continua a una fórmula en un punto donde no existe. Si no está definida, ya falló la primera condición, aunque a los lados el trazo se vea suave. ⁵

Cómo lo pregunta el examen

Pide el intervalo donde la gráfica sube o baja. Lees de izquierda a derecha. Donde la salida crece al avanzar, es creciente. Donde baja, es decreciente. El punto en que deja de subir y empieza a bajar es un máximo local, no un hueco. ^{1 3}

Otra muestra un punto abierto o una asíntota vertical y pregunta por la continuidad. Si la función no está definida, no es continua ahí. Las opciones suelen nombrar el tipo. El libro admite tres nombres: removible, de salto e infinita. No inventes un cuarto. ^{5 6}

También dan dos números y piden la tasa promedio. Restas salidas, restas entradas y divides. El signo de ese cociente dice si, entre esos dos puntos, el cambio fue de subida o de bajada. ²

Resumen

• Crece cuando al aumentar la entrada aumenta la salida, y la tasa es positiva.
• Decrece cuando la salida baja mientras la entrada aumenta, y la tasa es negativa.
• Un máximo local es el paso de crecer a decrecer. No es una discontinuidad.
• En un punto, continua exige estar definida, que el límite exista y que iguale al valor.
• Si eso no se cumple, hay discontinuidad: removible, de salto o infinita.