Definición épsilon-delta del límite

¿Cómo se escribe el límite con épsilon y delta?

La idea de "se acerca" ya está en límites. La definición precisa le pone números a las dos cercanías. Quien pregunta dice: quiero las imágenes a menos de $\varepsilon$ de $L$, y $\varepsilon$ puede ser cualquier positivo, por chico que sea. Tú respondes con un $\delta$ positivo: si la entrada está a menos de $\delta$ de $a$, y no es $a$, entonces la imagen cae en esa franja. En la fila, $\varepsilon$ es cuántos centímetros toleras de error en el andén, y $\delta$ es cuánto antes del tren tienes que estar mirando para que el error ya quepa.

OpenStax lo enuncia así. Supón que $f$ está definida para todos los $x$ de un intervalo abierto que contiene a $a$, salvo quizá en $a$. Supón que $L$ es un número real. Entonces $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si para cada $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que, si $x$ cumple la cercanía a $a$ que marca $\delta$, entonces $f(x)$ cumple la cercanía a $L$ que marca $\varepsilon$. En símbolos, la condición de entrada que separa al punto es

$$0 < |x - a| < \delta \quad \text{implica} \quad |f(x) - L| < \varepsilon$$

El glosario resume la misma forma: para cada $\varepsilon$ existe un $\delta$ tal que si la entrada cumple, la imagen cumple. La tabla de la sección lo lee en orden. "Para cada" es cada distancia positiva $\varepsilon$ desde $L$. "Existe un" es una distancia positiva $\delta$ desde $a$. "Si, entonces" dice: si $x$ está más cerca que $\delta$ de $a$, y no se pide el propio $a$, entonces $f(x)$ está más cerca que $\varepsilon$ de $L$. El cuantificador universal va primero. No basta con que existan un épsilon y un delta: tiene que haber delta para cada épsilon. ^{1 2 3}

El valor absoluto $|x - a|$ es la distancia en la recta, la misma que estudiaste en desigualdades. El cero estricto deja fuera $x = a$. Por eso el límite puede ser 6 aunque alguien haya definido $f(a) = 2$. Al sustituir en la fórmula sin simplificar y obtener 0/0 tampoco se concluye que el límite no existe: 0/0 pide reescribir, y la definición ni siquiera mira $f(a)$. ⁴

En una recta $f(x) = mx + b$, la cuenta de delta es corta. Quieres $|m||x - a| < \varepsilon$, así que $|x - a| < \varepsilon / |m|$, con $m \neq 0$. Un delta que sirve para todo épsilon es $\delta = \varepsilon / |m|$. Un delta más grande, como $\varepsilon$ cuando $|m| > 1$, no garantiza la franja.

Ideas clave

• El orden de los cuantificadores. Para cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$. Al revés, o con un solo par que exista, no es la definición. ^{1 2}
• La implicación. $0 < |x - a| < \delta$ obliga $|f(x) - L| < \varepsilon$. Sin el cero estricto estarías exigiendo también el valor en $a$. ¹
• Épsilon manda, delta responde. Delta puede depender de épsilon. Épsilon no se elige después de delta. ²
• El punto no importa. Si la función simplificada tiende a $L$, el límite es $L$ aunque $f(a)$ sea distinto o la sustitución directa se vea como 0/0. ⁴
• Recta. Si $|f(x) - L| = |m||x - a|$, entonces $\delta = \varepsilon / |m|$ funciona para todo $\varepsilon > 0$. ¹

Ejemplos resueltos

Cuál enunciado es la definición

Tienes cuatro frases para $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

1. La buena empieza por "para cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$" y sigue con "si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$". ¹
2. Si quitas el $0 <$, la frase pide que $x = a$ también cumpla $|f(a) - L| < \varepsilon$ para todo épsilon, o sea $f(a) = L$. Eso es más de lo que el límite dice. ¹
3. Si cambias el orden y pides que la cercanía de $f$ implique la de $x$, estás leyendo la implicación al revés. Si solo dices "existen épsilon y delta", un par flojo no cubre todos los épsilon. ²

El valor en el punto no entra

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} - 16}{x - 4} & x \neq 4 \\ 1 & x = 4 \end{cases}$$

¿Cuánto vale $\lim_{x \to 4} f(x)$?

1. Para $x \neq 4$, $x^{2} - 16 = (x - 4)(x + 4)$, y el cociente es $x + 4$. ⁴
2. $\lim_{x \to 4} (x + 4) = 8$. La definición usa entradas distintas de 4, así que $f(4) = 1$ no se mete en la cuenta. ¹
3. No existe no es la respuesta. Tampoco 1. El 0/0 de la fórmula sin simplificar era la forma de antes de cancelar, no un límite inexistente. ⁴

Delta para una recta

Demuestra con la definición que $\lim_{x \to 1} (2x + 3) = 5$, y elige un delta que sirva para todo $\varepsilon > 0$.

1. Hay que lograr $|(2x + 3) - 5| < \varepsilon$ siempre que $0 < |x - 1| < \delta$. ¹
2. $|(2x + 3) - 5| = |2x - 2| = 2|x - 1|$. Pides $2|x - 1| < \varepsilon$, esto es $|x - 1| < \varepsilon / 2$. ¹
3. Sirve $\delta = \varepsilon / 2$. No sirve $\delta = 2\varepsilon$: ese delta es más ancho que la franja que la pendiente 2 puede aguantar. Con $|x - 1| = \varepsilon$, la imagen se aleja $2\varepsilon$, que no es menor que $\varepsilon$.

Errores comunes

No intercambies $\varepsilon$ y $\delta$. Épsilon mide imágenes y se cuantifica con "para cada". Delta mide entradas y se cuantifica con "existe". La frase que pone delta primero y épsilon después no es la definición. ²

No aceptes la implicación invertida. Que las imágenes estén cerca no es la hipótesis: es la conclusión. La hipótesis es que las entradas ya están cerca, y distintas del punto. ¹

No uses $f(a)$ para decidir el límite. Si la opción dice que no existe porque $f(a)$ difiere de $L$, esa opción confunde continuidad con límite. El límite formal deja el punto fuera. ^{1 4}

En la recta, no pongas delta igual a épsilon si la pendiente no es 1 ni $-1$. Divide entre el valor absoluto de la pendiente. Multiplicar por la pendiente agranda el delta y la prueba se cae. ¹

Cómo lo pregunta el examen

En la pregunta de enunciados, subraya tres cosas y descarta en ese orden: "para cada" épsilon, luego "existe" delta, luego la implicación con $0 < |x - a|$ a la izquierda y $|f(x) - L|$ a la derecha. Una sola pieza cambiada invalida la frase. ^{1 2}

Si la función está definida con un valor raro en el punto, simplifica la pieza de los demás $x$ y sustituye en la expresión ya limpia. El valor raro es un distractor. ⁴

Si piden un delta para $mx + b$, resta $L$, factoriza $m$ y divide el épsilon entre $|m|$. La opción correcta es un cociente, no un producto, cuando $|m| > 1$. ¹

Resumen

• Para cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$, en ese orden.
• $0 < |x - a| < \delta$ implica $|f(x) - L| < \varepsilon$.
• El propio punto $a$ no entra, así que $f(a)$ puede no ser $L$.
• Un par suelto de épsilon y delta no reemplaza al "para cada".
• En $mx + b$, un delta que siempre sirve es $\varepsilon / |m|$.