Desigualdades cuadráticas, racionales y con valor absoluto

¿Por qué no basta con despejar la x?

Una desigualdad racional contiene una expresión racional, un cociente de polinomios. El libro advierte dos cuidados que la lineal no tenía. Si multiplicas o divides entre un negativo, el signo se invierte, igual que en el caso del coeficiente negativo. Y hay que dejar fuera todo valor que haga indefinida la expresión. ¹

El procedimiento que da para la racional es concreto. Primero se escribe un solo cociente a la izquierda y 0 a la derecha. Después se buscan los puntos críticos: los números que hacen cero el cociente o que lo dejan indefinido. Esos puntos parten la recta en intervalos. En cada intervalo se mira el signo del cociente. Al armar el intervalo final se decide si cada extremo entra, y el valor indefinido nunca entra. ¹

Una cuadrática comparada con cero se puede llevar a ese mismo hábito de tramos, sin tratarla como si el libro la llamara racional. Se pasa todo a un lado con una suma, que no voltea el signo. Si queda un trinomio, se abre en factores, como al partir el trinomio en dos factores. Cada raíz es un corte. Entre corte y corte se sustituye un número y se lee el signo del producto. El producto de dos factores es positivo cuando los dos son positivos o los dos son negativos, y es negativo cuando tienen signos distintos. Por eso no alcanza con anotar las raíces: hay que ver en qué tramo el producto tiene el signo que pide la desigualdad.

El valor absoluto de un número es su distancia al 0 en la recta. Se escribe entre barras, y para cualquier número es mayor o igual que cero: una distancia no sale negativa. El libro resuelve las desigualdades con valor absoluto así: aísla la expresión de las barras, escribe la desigualdad compuesta que equivale, resuelve esa compuesta, la graficas y la pasas a intervalo. ²

La compuesta sale de la distancia, no de un despeje lineal. Si $|u| < a$ y $a$ es positivo, la distancia de $u$ al 0 es menor que $a$, así que $u$ está entre $-a$ y $a$. Si $|u| > a$, la distancia es mayor que $a$, así que $u$ está a la izquierda de $-a$ o a la derecha de $a$. $|x - 4|$ es el valor absoluto de la diferencia $x - 4$, o sea la distancia de esa diferencia al 0. La notación de paréntesis y corchete de esos tramos está en la escritura del conjunto solución. ³

Ideas clave

• Racional. Un cociente a la izquierda y 0 a la derecha. Los cortes son donde vale 0 o donde no existe. ¹
• Indefinido. El número que anula el denominador no es solución. Va con paréntesis. ¹
• Cuadrática. Se factoriza y se prueba un punto en cada tramo que arman las raíces. El signo del producto no es el mismo en todos.
• Distancia. $|n|$ es la distancia de $n$ al 0, y nunca es negativa. ³
• Barras. Se aíslan, se escribe la compuesta, se resuelve y se pasa a intervalo. Menor que es un tramo. Mayor que es una unión. ²

Ejemplos resueltos

Trinomio contra cero

Resuelve $x^{2} - 5x + 6 > 0$.

1. Ya está todo a la izquierda. Factoriza: $x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Las raíces son 2 y 3.
2. Los tramos son $x < 2$, $2 < x < 3$ y $x > 3$.
3. En $x = 0$, el producto es $(-2)(-3) = 6$, positivo. Sirve para un mayor que cero.
4. En $x = 2.5$, $(0.5)(-0.5) = -0.25$, negativo. No sirve.
5. En $x = 4$, $(2)(1) = 2$, positivo. Sirve. Las raíces dan producto cero, y cero no es mayor que cero, así que quedan fuera. La solución es $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Distancia menor que 3

Resuelve $|x - 4| < 3$.

1. Aísla las barras. Ya están solas. ²
2. $|x - 4|$ es la distancia de $x - 4$ al 0. Que esa distancia sea menor que 3 significa que $x - 4$ está entre $-3$ y $3$: $-3 < x - 4 < 3$. ³
3. Suma 4 en los tres miembros: $1 < x < 7$.
4. Los dos bordes son estrictos. El intervalo es $(1, 7)$.
5. En $x = 4$, la distancia es 0, que es menor que 3. En $x = 1$, $|1 - 4| = 3$, que no es menor que 3. En $x = 8$, la distancia es 4, que ya se pasó.

Cociente contra cero

Resuelve $\frac{x - 1}{x + 2} < 0$.

1. Ya hay un solo cociente a la izquierda y el 0 está a la derecha. ¹
2. El numerador se anula en $x = 1$. El denominador se anula en $x = -2$, y ese valor se excluye porque la expresión no existe. ¹
3. Los tramos son $x < -2$, $-2 < x < 1$ y $x > 1$.
4. En $x = -3$, $\frac{-4}{-1} = 4$, positivo. No cumple el menor que cero. En $x = 0$, $\frac{-1}{2}$ es negativo y sí cumple. En $x = 2$, $\frac{1}{4}$ es positivo y no cumple.
5. Ni $-2$ ni $1$ entran: uno no existe y el otro da cero, que no es menor que cero. La solución es $(-2, 1)$.

Errores comunes

Incluyes el valor que anula el denominador porque "el signo de los lados se ve bien". En ese número no hay cociente. El libro pide excluirlo antes de cerrar el intervalo, y el paréntesis es obligatorio ahí aunque la desigualdad lleve igual del otro lado del corte. ¹

Lees $|x - 4| < 3$ como $x - 4 < 3$ y tiras la parte negativa. La distancia menor que 3 también prohíbe que $x - 4$ sea menor que $-3$. Sin ese lado, la solución se vuelve un rayo y sobran números como $x = -10$, cuya distancia al 4 es enorme. ³

Anotas las raíces de la cuadrática como si fueran la solución entera. En $x^{2} - 5x + 6 > 0$ las raíces dan cero, y cero no cumple un mayor estricto. Además el tramo de en medio da producto negativo. Quedarse con "entre 2 y 3" invierte el signo que pedía el problema.

Multiplicas la racional por el denominador, que lleva la $x$, y tratas ese paso como si el denominador fuera un positivo fijo. El signo de $x + 2$ cambia al cruzar $-2$. Por eso el camino del libro no multiplica así: deja el cociente, marca los cortes y prueba cada tramo. ¹

Cómo lo pregunta el examen

La cuadrática suele venir ya comparada con cero, o a un paso de estarlo. Factorizas, partes la recta en las raíces y pruebas un entero fácil de cada tramo. Las opciones cambian qué tramos entran y si las raíces llevan paréntesis o corchete. Con $>$ o $<$ estricto, la raíz queda fuera. Con $\geq$ o $\leq$, la raíz entra, siempre que el polinomio sí valga cero ahí.

El valor absoluto pide la traducción a intervalo. Menor o menor o igual es un tramo acotado alrededor del centro. Mayor o mayor o igual son dos rayos. Si olvidaste voltear solo en un lado, el centro queda corrido: en $|x - 4|$ el centro es 4, no 0. ^{2 3}

La racional pide el intervalo y esconde el valor prohibido en una opción que lo incluye. Marca dónde el numerador es cero y dónde el denominador es cero. Prueba un punto por tramo. El indefinido no entra ni siquiera cuando el signo de la desigualdad admite el igual, porque igualar a cero no vuelve definido el cociente. ¹

Resumen

• La racional se escribe como un cociente contra cero y se parte en los cortes.
• El número que anula el denominador nunca es solución.
• La cuadrática se factoriza y el signo se lee con un punto de prueba en cada tramo.
• El valor absoluto es una distancia al cero y no puede ser negativo.
• Menor que esa distancia es un intervalo acotado. Mayor que esa distancia es una unión de dos rayos.