Intervalos y conjunto solución

¿Cómo se anota el tramo que sí cumple?

Cuando la desigualdad ya está despejada, el libro traduce el signo a una marca en la recta y de ahí a un intervalo. Si $x$ es mayor que $a$, en $a$ va un paréntesis y se sombrea a la derecha. El intervalo es de $a$ a infinito, con paréntesis en los dos extremos. Si $x$ es mayor o igual que $a$, en $a$ va un corchete, el sombreado sigue a la derecha, y el intervalo abre con corchete y cierra con paréntesis en el infinito. ¹

Hacia la izquierda es el espejo. Si $x$ es menor que $a$, el paréntesis queda en $a$ y el sombreado va a la izquierda. Se escribe desde menos infinito hasta $a$, los dos con paréntesis. Si $x$ es menor o igual que $a$, el corchete está en $a$ y el intervalo va de menos infinito, con paréntesis, hasta $a$ con corchete. El infinito, positivo o negativo, no admite corchete: no es un número que la solución alcance. ¹

El paréntesis es el signo estricto, $>$ o $<$. El corchete es el signo con igual, $\geq$ o $\leq$. Confundirlos cambia el conjunto aunque el despeje haya estado bien. El despeje mismo, y cuándo se voltea el signo, está en el caso del coeficiente negativo.

Una desigualdad doble, como un número entre dos topes, es una comparación compuesta con "y". El libro dice que equivale a dos desigualdades que se cumplen a la vez. El modo de resolverla es despejar cada lado, dibujar cada solución y quedarse con los números que hacen ciertas las dos. Ese dibujo común es el intervalo con dos bordes finitos. ²

La otra compuesta es la "o". Se resuelve cada desigualdad, se dibuja cada solución y se marcan los números que hacen cierta alguna de las dos, no necesariamente las dos. Si los tramos no se pegan, la notación lleva el signo de unión entre intervalos. Si se pegan o se enciman, se leen como un solo tramo. ³

Al escribir, el número menor va a la izquierda del intervalo, aunque en la desigualdad lo hayas encontrado al revés. $7 > x$ y $x < 7$ son el mismo conjunto, y el intervalo se lee de menos infinito a 7.

Ideas clave

• Estricto. Paréntesis en el borde y sombreado hacia el lado del signo. El borde no es solución. ¹
• Con igual. Corchete en el borde. Ese número sí entra. ¹
• Sin tope. Paréntesis en el infinito. A la derecha es $(a, \infty)$ o $[a, \infty)$. A la izquierda es $(-\infty, a)$ o $(-\infty, a]$. ¹
• La "y". Las dos condiciones, y el intervalo es lo que queda en común. ²
• La "o". Cualquiera de las dos, y si quedan huecos se escribe una unión. ³

Ejemplos resueltos

Un solo corte, signo estricto

Resuelve $3(x + 1) < 2x + 8$ y escribe el intervalo.

1. Desarrolla el paréntesis: $3x + 3 < 2x + 8$.
2. Resta $2x$ y resta 3. Queda $x < 5$. No hubo división entre negativo, así que el signo sigue.
3. En la recta, 5 lleva paréntesis y el sombreado va a la izquierda. ¹
4. El intervalo es $(-\infty, 5)$.
5. $x = 4$ cumple: $3(5) = 15$ y $2(4) + 8 = 16$, y 15 es menor que 16. $x = 5$ da 18 contra 18, que no es menor. El paréntesis deja fuera el 5.

Dos topes

Resuelve $-1 \leq 2x + 3 < 7$.

1. Es una doble. Equivale a $-1 \leq 2x + 3$ y, a la vez, $2x + 3 < 7$. ²
2. Resta 3 en los tres miembros: $-4 \leq 2x < 4$.
3. Divide entre 2, positivo: $-2 \leq x < 2$.
4. El $-2$ entra, así que lleva corchete. El 2 no entra, así que lleva paréntesis. El intervalo es $[-2, 2)$. ¹
5. En $x = -2$, $2(-2) + 3 = -1$, y $-1 \leq -1 < 7$ es cierto. En $x = 2$, $2(2) + 3 = 7$, y la parte derecha pide menor que 7, así que 2 se queda afuera.

Dos tramos separados

Describe $x < -1$ o $x \geq 4$.

1. La palabra es "o". Un número sirve si cumple la primera, la segunda, o no hace falta que cumpla ambas. ³
2. La primera es paréntesis en $-1$ y sombreado a la izquierda: $(-\infty, -1)$. ¹
3. La segunda es corchete en 4 y sombreado a la derecha: $[4, \infty)$.
4. No se tocan. Entre $-1$ y 4 hay números que no entran, por ejemplo 0.
5. Se escribe $(-\infty, -1) \cup [4, \infty)$.

Errores comunes

Cierras el infinito con corchete. $[3, \infty]$ no es la notación del libro. El extremo sin número va con paréntesis, aunque del otro lado el 3 sí lleve corchete porque la desigualdad es $\geq$. ¹

Pones corchete en un signo estricto porque "el 5 está en la respuesta". El 5 es el corte, no un elemento del conjunto, cuando el signo es $<$ o $>$. El corchete solo acompaña al igual. ¹

Tratas la "o" como si fuera "y". En la "y" un número tiene que cumplir las dos frases, y a veces la intersección queda vacía. En la "o" basta una. Si unes cuando el problema decía "a la vez", metes números de más. Si intersecas cuando decía "o", tiras un tramo entero. ^{2 3}

Cómo lo pregunta el examen

Una forma pide el intervalo de una desigualdad que todavía no está despejada. Primero llegas a un signo claro, con la regla del negativo si hizo falta, y después traduces: paréntesis si el borde no entra, corchete si entra, paréntesis en el infinito. El reactivo de opciones suele cambiar solo ese detalle del borde.

Otra da una doble, con un $\leq$ de un lado y un $<$ del otro. Hay que despejar los dos lados con el mismo paso y conservar qué borde es cerrado. El intervalo mezcla corchete y paréntesis. No es un error de notación: es lo que la doble pide. ²

También muestran una recta ya marcada, o cuatro intervalos, y preguntan cuál corresponde. Lees el sombreado y el punto. Punto abierto o paréntesis: el número no entra. Punto lleno o corchete: sí entra. Si hay dos rayos separados, la respuesta lleva unión, no un intervalo de un borde al otro. ^{1 3}

Resumen

• El paréntesis excluye el borde. El corchete lo incluye.
• El infinito siempre va con paréntesis, a la derecha y a la izquierda.
• Una doble con "y" se anota como un solo intervalo, el tramo común.
• Una "o" con hueco en medio se anota como unión de intervalos.
• El número menor se escribe a la izquierda, aunque lo hayas despejado al revés.