Operaciones con polinomios

¿Cómo se operan los polinomios?

En la lista del súper, 3 kilos de frijol y 2 kilos de frijol sí se juntan. 3 kilos de frijol y 2 kilos de arroz no. Con las letras pasa lo mismo: solo se suman los términos que traen exactamente las mismas letras elevadas a lo mismo. Las potencias que aparecen al multiplicar se leen con las leyes de los exponentes. ¹

Un monomio es una expresión de un solo término. En una variable tiene la forma $ax^{m}$, con $a$ constante y $m$ un número entero no negativo. Un polinomio es un monomio, o dos o más términos algebraicos unidos por suma o resta. Uno, dos o tres términos se llaman monomio, binomio y trinomio. El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables. El grado del polinomio es el mayor de esos grados. ¹

Ideas clave

• Términos semejantes. Deben tener las mismas variables con el mismo exponente. Se suman o se restan los coeficientes y la parte literal se queda igual. ¹
• Signo menos. Restar es sumar el opuesto. Un signo menos delante de un paréntesis, corchete o llave cambia el signo de cada término de adentro. Las agrupaciones se quitan de la más interna a la más externa. ²
• Multiplicar. Cada término del primer factor se multiplica por cada término del segundo. El cuadrado de un binomio y el par de conjugados se desarrollan en productos notables. Aquí el caso del examen es un binomio por un trinomio, que se reparte completo. ³
• Potencia de un monomio. $(ab)^{m} = a^{m} b^{m}$ y $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$. El coeficiente se eleva con su signo. Si $a \neq 0$, $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$. ³
• Dividir entre un monomio. Se divide cada término del polinomio entre el monomio. Cuidado con los signos. ⁴
• Dividir entre un binomio. El dividendo va en orden, con un término en cero si falta una potencia. Se divide el primer término entre el primer término del divisor, se multiplica ese resultado por todo el divisor, se resta (cambiando signos) y se baja el siguiente término. Se repite. Para comprobar, el cociente por el divisor recupera el dividendo. Si sobra residuo, el teorema del residuo lo usa; aquí los ejemplos cierran en cero. ⁴

Ejemplos resueltos

Una resta y un producto

Calcula $(3x^{2} - 2xy + y^{2}) - (x^{2} - 4xy + 2y^{2})$ y $(2x - 1)(x^{2} - x + 3)$.

1. El menos cambia los tres signos del segundo paréntesis: $3x^{2} - 2xy + y^{2} - x^{2} + 4xy - 2y^{2}$. ²
2. Semejantes: $3x^{2} - x^{2} = 2x^{2}$, $-2xy + 4xy = 2xy$ y $y^{2} - 2y^{2} = -y^{2}$. Queda $2x^{2} + 2xy - y^{2}$. ¹
3. En el producto, $2x$ por cada término da $2x^{3} - 2x^{2} + 6x$. El $-1$ da $-x^{2} + x - 3$. ³
4. Comprueba la suma: $2x^{3} - 3x^{2} + 7x - 3$. El término en $x^{2}$ es $-2 - 1$, no $-2 + 1$.

Una división que cierra

Divide $x^{2} + 5x + 6$ entre $x + 2$.

1. Divide $x^{2}$ entre $x$. El primer término del cociente es $x$. ⁴
2. Multiplica $x(x + 2) = x^{2} + 2x$ y resta: $(x^{2} + 5x + 6) - (x^{2} + 2x) = 3x + 6$.
3. Divide $3x$ entre $x$. Baja el $3$. $3(x + 2) = 3x + 6$, y la resta da cero.
4. Comprueba: $(x + 3)(x + 2) = x^{2} + 5x + 6$. El cociente es $x + 3$.

Errores comunes

Juntar $x^{2}y$ con $xy^{2}$. No son semejantes: el exponente 2 no está en la misma letra. ¹

Cambiar solo el primer signo al quitar un paréntesis precedido de menos. El menos afecta a todos los términos. En el ejemplo, restar $2y^{2}$ deja $-2y^{2}$, y restar $-4xy$ deja $+4xy$. ²

Elevar un monomio sumando exponentes. $(x^{3})^{2} = x^{6}$, porque una potencia de una potencia multiplica. Y $(-2)^{3} = -8$, no $-6$: el coeficiente se eleva, no se multiplica por 3. ³

En la división, restar un término negativo como si se restara su valor absoluto. Restar un número negativo es sumarlo. La comprobación es multiplicar otra vez. ^{4 2}

Cómo lo pregunta el examen

Una pregunta pide reducir una suma larga. Subraya cada parte literal y suma solo los coeficientes que coinciden por completo. El término que no tiene pareja se queda.

Otra trae corchetes y llaves. Empieza por el paréntesis de más adentro. Cada vez que un signo menos precede a una agrupación, cambia todos los signos antes de seguir. ²

En un producto, escribe cada multiplicación y luego reduce. En una división entre binomio, el cociente se comprueba multiplicando. Si tu producto no recupera el dividendo, el error estuvo en una resta de signos. ⁴

Resumen

• Semejantes: mismas letras, mismos exponentes. Se suman coeficientes.
• Un menos delante de un paréntesis cambia todos los signos de adentro.
• Al multiplicar, cada término por cada término. Los conjugados dan una diferencia de cuadrados.
• Al elevar un monomio, el coeficiente se eleva y los exponentes se multiplican.
• Dividir entre un binomio es una división larga, y se comprueba multiplicando.