Teorema del residuo y del factor

¿Qué dice el teorema del residuo?

Dividir polinomios se parece a dividir enteros. Precálculo escribe el algoritmo así: el dividendo es el cociente por el divisor, más un residuo. El residuo es cero o tiene grado menor que el divisor. Si el residuo es cero, el divisor parte exacto y es un factor. ² Cuando el divisor es el binomio $x - c$, la división sintética usa solo los coeficientes y deja el residuo en la última casilla.

Abramson saca de ahí el atajo. Si el divisor es $x - a$, el residuo es una constante. Al evaluar la igualdad en $x = a$, el término con el divisor se anula, y esa constante es $P(a)$. El teorema del residuo queda en una línea: el residuo de dividir $P(x)$ entre $x - a$ es $P(a)$. ¹

El teorema del factor es el caso en que ese número es cero. $a$ es un cero de $P$ si y solo si $x - a$ es un factor de $P$. ¹ Para un polinomio de grado 3, un factor lineal deja un cociente de grado 2, y ese cociente a veces se sigue factorizando con lo de factorización.

Ojo con el signo del binomio. El teorema habla de $x - a$, no de "el número que está escrito junto a la $x$". Si el divisor es $x + 1$, reescríbelo como $x - (-1)$. Entonces $a = -1$ y el residuo es $P(-1)$. Si evalúas en $+1$, estás dividiendo entre $x - 1$, que es otro binomio.

Para saber si varios binomios son factores, no hace falta la división de cada uno. Evalúas $P$ en cada candidato. Los que den cero sí lo son. Los que den otro número, no. El examen usa justo esa lista.

Ideas clave

• Residuo. Dividir $P(x)$ entre $x - a$ deja residuo $P(a)$. No hace falta el cociente si solo piden ese número. ¹
• Factor. $x - a$ es factor si y solo si $P(a) = 0$. Un residuo distinto de cero descarta el factor.
• El signo. $x + a$ corresponde al valor $-a$. $x - a$ corresponde al valor $+a$.
• La $k$ que falta. Si $x - a$ debe ser factor, planteas $P(a) = 0$ y despejas el coeficiente desconocido.
• Grado. El divisor lineal deja residuo constante. Un divisor de grado 2 puede dejar residuo de grado 1, y ya no basta un solo número. ²

Ejemplos resueltos

Residuo sin dividir

Halla el residuo de dividir $P(x) = x^{3} + x - 4$ entre $x - 1$.

1. El divisor es $x - 1$, así que $a = 1$.
2. $P(1) = 1 + 1 - 4 = -2$.
3. El residuo es $-2$.

La división larga daría cociente $x^{2} + x + 2$ y esa misma constante al final. Para la pregunta, el cociente sobra.

El coeficiente que hace factor

¿Qué valor de $k$ hace que $x - 3$ sea factor de $P(x) = x^{3} - 4x^{2} + kx + 6$?

1. Debe cumplirse $P(3) = 0$.
2. $P(3) = 27 - 4 \cdot 9 + 3k + 6 = 27 - 36 + 3k + 6$.
3. $27 - 36 + 6 = -3$, así que $-3 + 3k = 0$.
4. $k = 1$.

Comprueba: $P(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$.

Tres candidatos

¿Cuáles de estos binomios son factores de $Q(x) = x^{3} + x^{2} - 4x - 4$?

I. $x - 1$ II. $x + 2$ III. $x - 2$

1. I pide $Q(1) = 1 + 1 - 4 - 4 = -6$. No es cero. I no es factor.
2. II es $x - (-2)$. $Q(-2) = -8 + 4 + 8 - 4 = 0$. II sí es factor.
3. III pide $Q(2) = 8 + 4 - 8 - 4 = 0$. III también.
4. Son factores II y III.

El grado es 3, así que hay un tercer factor lineal. No te lo pidieron. Con II y III ya armas $(x + 2)(x - 2) = x^{2} - 4$, y el cociente que falta es $x + 1$, porque $Q(-1) = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$. No hacía falta para contestar, y sirve de cierre.

Errores comunes

Si el divisor es $x + 1$ y sustituyes $1$, el residuo que obtienes es el de otra división. Escribe el binomio como $x - a$ antes de tocar la calculadora.

Si $P(a) = 0$ y concluyes que el residuo es $a$, cambiaste el resultado por el valor donde evaluaste. El residuo es 0.

Si despejas $k$ y no sustituyes de nuevo, un signo en $a^{2}$ o en $a^{3}$ se te puede ir. La segunda evaluación es una resta de enteros. Hazla.

Si marcas como factor un binomio que dio 6 o $-2$, estás usando otra regla. Solo el cero cuenta.

Si el polinomio trae un hueco, como $x^{3} + 1$ sin $x^{2}$ ni $x$, esos coeficientes son 0 al sustituir. No los inventes como 1.

Cómo lo pregunta el examen

Hay tres formas. Una pide el residuo de un cúbico entre un binomio: evalúas y comparas con las cuatro constantes. Otra pide la $k$ que vuelve factor a un binomio dado: planteas la evaluación en cero y despejas. La tercera es de selección, con romanos: pruebas cada binomio y armas la combinación que sí da cero.

En los romanos, el distractor deja fuera un factor que sí evaluaba en cero, o mete uno que no. Calcula los cuatro valores, aunque el primero ya haya salido cero. No se reparten "el positivo sí y el negativo no" por intuición.

Cuando el divisor no es de la forma $x - a$, este atajo no aplica tal cual. Un coeficiente principal distinto de 1 en el divisor cambia la división. Los reactivos de esta habilidad usan $x - a$ o $x + a$.

Resumen

• El residuo de $P(x)$ entre $x - a$ es $P(a)$.
• $x - a$ es factor solo cuando $P(a) = 0$.
• $x + a$ se evalúa en $-a$.
• Para hallar $k$, igualas esa evaluación a cero y despejas.
• En una lista de binomios, cada uno se prueba solo. El cero decide.