Fracciones algebraicas

¿Cómo se opera una fracción de polinomios?

OpenStax llama expresión racional al cociente de dos polinomios. Para simplificarla, primero se factorizan el numerador y el denominador. Después se cancela el factor común, porque cualquier expresión distinta de cero, dividida entre ella misma, vale 1. ¹ Es el mismo gesto de la fracción $\frac{30}{210}$, que al partirla en primos deja $\frac{1}{7}$. Aquí los "primos" son binomios.

El CCH da la multiplicación de dos fracciones numéricas, y la misma regla vale con polinomios:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

con $b$ y $d$ distintos de cero. ² Conviene factorizar antes de multiplicar, para cancelar un factor de cualquier numerador con un factor de cualquier denominador.

Dividir es multiplicar por el recíproco. OpenStax lo incluye entre las operaciones de las expresiones racionales: das vuelta la segunda fracción y multiplicas. ¹ No se dividen denominador entre denominador.

Sumar o restar pide el mismo denominador. El CCH escribe la resta de dos fracciones así:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$

³ Si los denominadores ya están factorizados y no son primos entre sí, el común es el producto de los factores distintos, cada uno con su mayor exponente. No hace falta usar siempre $bd$ si comparten un factor. En los reactivos de esta habilidad los denominadores suelen ser binomios distintos, y el producto sí es el común.

Cada factor del denominador original prohíbe un valor de $x$. Cancelar $(x - 2)$ no autoriza $x = 2$. El resultado simplificado se entiende fuera de esos valores.

Los factores que vas a ver (diferencia de cuadrados, factor común, trinomio) se arman en factorización.

Ideas clave

• Simplificar. Factoriza arriba y abajo. Cancela solo factores completos, nunca un término que suma. ¹
• Producto. Numerador por numerador, denominador por denominador. Cancela antes de expandir de nuevo. ²
• Cociente. Se cambia a multiplicación por el recíproco. Después se factoriza y se cancela.
• Resta. $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$. Cada numerador se multiplica por el denominador que le falta. ³
• Dominio. El denominador original no puede ser cero. El valor cancelado sigue excluido.

Ejemplos resueltos

Simplificar antes de "tachar la $x$"

Simplifica $\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4}$.

1. Numerador: $x(x - 2)$. Denominador: $(x - 2)(x + 2)$.
2. El factor repetido es $x - 2$, no la $x$ sola del numerador.
3. Queda $\frac{x}{x + 2}$, para $x \neq 2$ y $x \neq -2$.
4. Con $x = 1$, la original es $\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$ y la simplificada es $\frac{1}{3}$.

Si tachas $x^{2}$ arriba y abajo, te queda $\frac{-2x}{-4} = \frac{x}{2}$. Con $x = 1$ eso vale $\frac{1}{2}$, y no coincide.

Una resta con binomios distintos

Calcula $\frac{4}{x + 1} - \frac{1}{x - 3}$.

1. El común es $(x + 1)(x - 3)$.
2. El primer numerador se multiplica por $x - 3$: $4(x - 3) = 4x - 12$.
3. El segundo se multiplica por $x + 1$, y se resta: $1 \cdot (x + 1) = x + 1$.
4. $4x - 12 - (x + 1) = 4x - 12 - x - 1 = 3x - 13$.
5. Queda $\frac{3x - 13}{(x + 1)(x - 3)}$, con $x \neq -1$ y $x \neq 3$.

El paréntesis del segundo numerador importa. Si restas solo $x$ y dejas el $+1$ sin signo, el constante queda $-12 + 1 = -11$ y el numerador sale mal.

Multiplicar y cancelar en cruz

Simplifica $\frac{x^{2} - 1}{3x} \cdot \frac{6x^{2}}{x - 1}$.

1. $x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
2. La expresión es $\frac{(x - 1)(x + 1)}{3x} \cdot \frac{6x^{2}}{x - 1}$.
3. Se cancela $x - 1$. También $\frac{6x^{2}}{3x} = 2x$, porque $\frac{6}{3} = 2$ y $\frac{x^{2}}{x} = x$, con $x \neq 0$.
4. Queda $2x(x + 1)$.
5. Con $x = 2$, el producto original es $\frac{3}{6} \cdot \frac{24}{1} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$. Y $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

Errores comunes

Si cancelas términos que se suman, como el $x^{2}$ de arriba con el $x^{2}$ de abajo, la fracción numérica de prueba ya no da lo mismo. Factoriza primero.

Si al restar distribuyes el menos solo al primer sumando del segundo numerador, el constante cambia de signo a medias. El menos afecta a todo el producto $bc$.

Si al dividir multiplicas los denominadores entre sí y también los numeradores, hiciste un producto, no un cociente. La segunda fracción se voltea.

Si después de cancelar $x - 2$ dices que $x = 2$ ya es válido, el denominador original se hace cero. El álgebra del resultado no revive ese valor.

Si expandes todo antes de cancelar, el factor común queda escondido en una suma. Cancela en forma de producto.

Cómo lo pregunta el examen

Una pregunta pide simplificar un cociente: factor común arriba y diferencia de cuadrados abajo. Otra pide una resta de dos fracciones con denominadores lineales distintos: el numerador correcto es el que trae la resta bien distribuida. Otra pide un producto, y las opciones son polinomios. La más larga es un cociente de fracciones: factorizas las cuatro partes, volteas la segunda fracción y cancelas.

En todas, el distractor cancela un término o se olvida del recíproco. Una sustitución con un entero que no anule denominadores (prueba 1, y si truena prueba 2) distingue el resultado. No uses el número que hace cero un factor, porque la original ni siquiera está definida.

Resumen

• Una fracción algebraica es un cociente de polinomios. Se simplifica por factores.
• Multiplicar es el producto de numeradores sobre el producto de denominadores.
• Dividir es multiplicar por el recíproco.
• Restar con distinto denominador usa $\frac{ad - bc}{bd}$.
• Lo que cancelaste sigue prohibido como valor de $x$.