Exponenciales y logaritmos: dominio, rango y asíntotas

¿Qué valores entran y cuáles salen?

El dominio y el rango de estas dos curvas salen de que una es la inversa de la otra. La exponencial pone la variable en el exponente. El logaritmo le devuelve ese exponente. Por eso el eje que una no cruza es el eje que a la otra le corta el dominio. ^{1 2}

Ideas clave

• Exponencial. $f(x) = a^x$ pide $a > 0$ y $a \neq 1$. El dominio es $(-\infty, \infty)$. El rango es $(0, \infty)$. No hay cruce con el eje $x$. El cruce con el eje $y$ es $(0, 1)$, porque $a^0 = 1$. ¹
• Puntos fijos de la base. La curva pasa por $(1, a)$ y por $\left(-1, \frac{1}{a}\right)$. Si $a > 1$ crece. Si $0 < a < 1$ decrece. ¹
• Asíntota horizontal. $y = a^x$ se acerca al eje $x$, la recta $y = 0$, y no lo cruza. ¹
• Logaritmo. $y = \log_a x$ tiene dominio $(0, \infty)$ y rango $(-\infty, \infty)$. Cruza el eje $x$ en $(1, 0)$. No cruza el eje $y$. Pasa por $(a, 1)$ y por $\left(\frac{1}{a}, -1\right)$. ²
• Asíntota vertical. La gráfica de $\log_a x$ se acerca al eje $y$, la recta $x = 0$, y no lo cruza. Si $a > 1$ la curva crece. Si $0 < a < 1$ decrece. ²
• Bajar o subir la exponencial. Restar una constante a $a^x$ baja la curva esa misma cantidad y baja con ella la asíntota horizontal. ¹

Ejemplos resueltos

Una exponencial bajada cuatro unidades

Describe dominio, rango y asíntota de $g(x) = 3^x - 4$.

1. $3^x$ tiene dominio de todos los reales y rango $(0, \infty)$. Restar 4 no quita valores de $x$. El dominio sigue siendo $(-\infty, \infty)$. ¹
2. Cada valor positivo baja 4 unidades, así que el rango es $(-4, \infty)$. El $-4$ no entra: la curva original nunca vale 0, y esta nunca vale $-4$. ¹
3. La asíntota $y = 0$ baja 4 unidades y queda en $y = -4$. En $x = 0$, $g(0) = 1 - 4 = -3$, que está una unidad arriba de la asíntota. ¹
4. El rango no es $(-3, \infty)$. $-3$ es la altura en el eje $y$, no la barrera.

Un reflejo que no alcanza el 6

Halla el rango de $h(x) = 6 - 4^x$.

1. $4^x$ solo da positivos y se acerca a 0 sin llegar. Entonces $6 - 4^x$ es 6 menos un positivo: siempre es menor que 6. ¹
2. Cuando $x$ crece, $4^x$ crece sin tope y $h(x)$ baja sin tope. El rango es $(-\infty, 6)$. ¹
3. La asíntota horizontal es $y = 6$. La curva queda debajo y no la toca.
4. Cerrar el intervalo en 6 diría que hay un $x$ con $4^x = 0$. No existe.

Un logaritmo corrido a la derecha

Para $y = \log_3 (x - 2)$, di el dominio, la asíntota y dos puntos.

1. $\log_3$ solo acepta un argumento positivo, y $y = \log_3 (x - 2)$ equivale a $x - 2 = 3^y$. Como $3^y > 0$, hace falta $x - 2 > 0$, o sea $x > 2$. El dominio es $(2, \infty)$. ^{3 2}
2. El argumento se acerca a 0 cuando $x$ se acerca a 2. En la gráfica básica eso ocurre junto al eje $y$, donde el argumento es $x$. Aquí la asíntota vertical es $x = 2$. ²
3. El argumento vale 1 en $x = 3$, y $\log_3 1 = 0$. El argumento vale 3 en $x = 5$, y $\log_3 3 = 1$. La curva pasa por $(3, 0)$ y por $(5, 1)$. ²
4. $x - 2$ no mueve la asíntota a $x = -2$. El cero del argumento está en $x = 2$.

Errores comunes

Cerrar el rango de la exponencial. $(0, \infty)$ no incluye 0. Después de restar 4, $-4$ tampoco entra. ¹

Tomar el cruce con el eje vertical como si fuera la asíntota. En $3^x - 4$ el punto $(0, -3)$ está en la curva. La recta que no se toca es $y = -4$. ¹

Darles a $6 - 4^x$ todos los reales, o el intervalo $(6, \infty)$. El menos voltea los positivos hacia abajo y el 6 es el techo, no el piso. ¹

Leer el dominio de un logaritmo como si fuera el de la exponencial. $\log_3 (x - 2)$ no acepta $x = 2$ ni nada a la izquierda. La asíntota es vertical. ²

Cómo lo pregunta el examen

Una gráfica de exponencial se acerca a una horizontal por encima y pasa por el eje vertical un poco más arriba. El rango es lo que queda estrictamente de ese lado de la asíntota. El punto del eje $y$ no abre ni cierra el intervalo. ¹

Si la potencia está restada de una constante, el techo es esa constante y no se alcanza, porque $a^x$ nunca es 0. El dominio de esa fórmula sigue siendo todos los reales. ¹

En un logaritmo, la asíntota vertical es la recta donde el argumento vale 0. Un punto de la curva sirve para distinguir $\log_3 (x - 2)$ de $\log_3 x$ o de una exponencial, que tendría la asíntota acostada. ^{2 3}

Resumen

• $a^x$ tiene dominio real, rango $(0, \infty)$ y asíntota $y = 0$.
• Si $a > 1$ la exponencial crece. Si la base está entre 0 y 1, decrece.
• Restar una constante baja la curva y baja la asíntota horizontal lo mismo.
• $\log_a x$ tiene dominio $(0, \infty)$, rango real y asíntota $x = 0$.
• En $\log_a (x - c)$ el argumento positivo obliga $x > c$, y la asíntota vertical es $x = c$.