Logaritmos y sus propiedades

¿Qué exponente esconde un logaritmo?

En una potencia la base y el exponente ya están escritos y el resultado es lo que buscas. El logaritmo voltea esa pregunta: conoces la base y el resultado, y el exponente es la incógnita. Por eso se apoya en las potencias de la misma base. Si $y = \log_a x$, entonces $x = a^y$. La base cumple $a > 0$ y $a \neq 1$, y el argumento cumple $x > 0$. ¹

Ideas clave

• El logaritmo es el exponente. $\log_a x = y$ y $a^y = x$ dicen lo mismo. La base queda abajo en el logaritmo y pasa a ser la base de la potencia. ¹
• Dos valores que salen de la definición. $\log_a 1 = 0$ porque $a^0 = 1$. $\log_a a = 1$ porque $a^1 = a$. ²
• Deshacer la potencia. Si $a > 0$, $a \neq 1$ y $x > 0$, entonces $a^{\log_a x} = x$ y $\log_a (a^x) = x$. ²
• Producto, cociente y potencia. Con argumentos positivos, $\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$, $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ y $\log_a (M^p) = p \log_a M$. ²
• Bases 10 y e. Si no se escribe la base, $\log x$ es base 10 y equivale a $x = 10^y$. $\ln x$ es base $e$ y equivale a $x = e^y$. ¹
• Cambio de base. Para $M > 0$ y bases positivas distintas de 1, $\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$. Con la calculadora se usa base 10 o base $e$. ³

Ejemplos resueltos

Separar un cociente con potencias

Escribe $\log_5 \frac{25 a^3}{b}$ como suma y resta, con $a > 0$ y $b > 0$.

1. El cociente se vuelve resta: $\log_5 (25 a^3) - \log_5 b$. ²
2. El producto de arriba se vuelve suma: $\log_5 25 + \log_5 (a^3) - \log_5 b$. ²
3. $\log_5 25 = 2$ porque $5^2 = 25$, y el exponente 3 baja: $2 + 3 \log_5 a - \log_5 b$. ^{1 2}
4. El 3 solo multiplica a $\log_5 a$. No multiplica a $\log_5 25$ ni cambia el signo de $\log_5 b$.

Armar un solo logaritmo

Si $\log 2 = p$ y $\log 5 = q$, expresa $\log 50$ con $p$ y $q$.

1. $50 = 2 \cdot 5^2$, así que $\log 50 = \log (2 \cdot 5^2)$. ²
2. El producto se parte: $\log 2 + \log (5^2) = p + 2 \log 5$. ²
3. Queda $p + 2q$. No es $2pq$ ni $p^2 + q$.
4. Comprueba el caso pequeño: $\log 10 = \log (2 \cdot 5) = p + q$, que es otra expresión. El 2 del exponente de 5 no se pierde en $\log 50$.

Un valor exacto y un cambio de base

Calcula $\log_2 32 + \log_4 1 - \log_3 \frac{1}{27}$ y deja indicado $\log_7 20$ con logaritmos de base 10.

1. $32 = 2^5$, así que el primer término es 5. El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base permitida. ^{1 2}
2. $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, así que $\log_3 \frac{1}{27} = -3$. Restar $-3$ suma 3. El total es $5 + 0 - (-3) = 8$. ²
3. $\log_7 20 = \frac{\log 20}{\log 7}$. Esa fracción es el valor, no una resta. ³

Errores comunes

Partir una suma. $\log_a (M + N)$ no es $\log_a M + \log_a N$. La suma de logaritmos es el logaritmo de un producto. ²

Repartir el exponente a todos los factores. En $\log_5 (25 a^3)$ el 3 solo acompaña a $a$. El 25 ya es una potencia de la base y se evalúa aparte. ²

Cambiar el signo del cociente. $\log_a M - \log_a N$ es el logaritmo del cociente, no el logaritmo de la resta, y el término de abajo se resta. ²

Confundir la base callada. $\log 1000 = 3$ porque $10^3 = 1000$. $\ln e = 1$. No son el mismo botón de la calculadora. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Una pregunta pide desarrollar un logaritmo de un cociente. Separa primero el cociente en resta y el producto en suma. Después baja cada exponente. El coeficiente no se copia a los términos que no lo tenían. ²

Otra da $\log 2$ y $\log 5$ con letras y pide $\log 50$ o $\log 10$. Factoriza el argumento como producto de potencias de 2 y de 5 antes de sustituir las letras. ²

También aparecen valores sueltos: logaritmo de 1, logaritmo de la propia base, una potencia exacta y un recíproco escrito como exponente negativo. El cambio de base sale cuando la base no es 10 ni $e$ y hace falta un cociente de logaritmos. ^{1 3}

Resumen

• $\log_a x = y$ significa $a^y = x$, con $a > 0$, $a \neq 1$ y $x > 0$.
• $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, y la potencia y el logaritmo de la misma base se cancelan.
• El logaritmo de un producto suma, el de un cociente resta y el de una potencia multiplica.
• Sin base escrita, el logaritmo es de base 10. $\ln$ es de base $e$.
• Cambiar de base divide dos logaritmos de la base nueva: $\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$.