Cálculo de pH, pOH, [H⁺] y [OH⁻]

¿Cómo se calcula el pH a partir de [H⁺] o de [OH⁻]?

El examen casi siempre pide un número y un adjetivo: el pH y si la disolución es ácida o básica. Las dos piezas salen de la misma definición, a $25\ ^\circ\mathrm{C}$ si no dicen otra cosa. Primero pasas de concentración a pH con el logaritmo, o al revés con una potencia de diez. Si te dan el otro ion, el producto $K_{\mathrm{w}}$ lo convierte. El adjetivo se decide al final, comparando el pH con 7,00. ^{1 3}

A $25\ ^\circ\mathrm{C}$ la constante del producto iónico del agua es

$$K_{\mathrm{w}} = [\mathrm{H_3O^+}][\mathrm{OH^-}] = 1{,}0 \times 10^{-14}$$

El agua pura se autoioniza muy poco: solo unas dos de cada mil millones de moléculas a esa temperatura. En agua pura las dos concentraciones son iguales, así que cada una vale $1{,}0 \times 10^{-7}\ \mathrm{M}$. Si sube el hidronio, baja el hidróxido, porque el producto se conserva. El proceso es endotérmico: al calentar, $K_{\mathrm{w}}$ crece. A $100\ ^\circ\mathrm{C}$ vale cerca de $5{,}1 \times 10^{-13}$, unas 50 veces el valor de $25\ ^\circ\mathrm{C}$. Mientras el reactivo no cambie la temperatura, usa $1{,}0 \times 10^{-14}$. ²

Las definiciones, en la sección de pH, son

$$\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H_3O^+}] \qquad [\mathrm{H_3O^+}] = 10^{-\mathrm{pH}}$$

$$\mathrm{pOH} = -\log[\mathrm{OH^-}] \qquad [\mathrm{OH^-}] = 10^{-\mathrm{pOH}}$$

y, a $25\ ^\circ\mathrm{C}$,

$$\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14{,}00$$

Un pH menor que 7,00 es ácido. Uno mayor que 7 es básico. El detalle de la escala y de los indicadores está en pH e indicadores. Si el logaritmo aún se siente opaco, la definición $y = \log_a x$ está en logaritmos. Aquí la base es 10. ^{1 3 4}

Para no perder el exponente, separa la cifra. Si $[\mathrm{H_3O^+}] = c \times 10^{-n}$ con $c$ entre 1 y 10, entonces

$$\mathrm{pH} = n - \log c$$

$\log 2$ es cerca de 0,30 y $\log 5$ es cerca de 0,70, porque $2 \times 5 = 10$ y los logaritmos suman 1. Con eso salen los casos limpios. Si el pH ya viene dado, la concentración es una potencia de diez: no es el pH leído como molaridad. ⁴

El hidróxido, cuando solo tienes hidronio, sale del cociente:

$$[\mathrm{OH^-}] = \dfrac{K_{\mathrm{w}}}{[\mathrm{H_3O^+}]}$$

Y al revés si el dato es el hidróxido. Un pOH no se "mide" en el relato del capítulo: se resta el pH experimental de 14,00. En un problema escrito puedes empezar por cualquiera de los dos, siempre que cierres la suma. ^{2 1}

Entre dos disoluciones a la misma temperatura, la de mayor pH tiene menor hidronio y, por el producto fijo, mayor hidróxido. Si piden "la mayor concentración de $\mathrm{OH^-}$", gana el pH más alto, no el más bajo. ^{3 2}

Ideas clave

• Logaritmo. $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H_3O^+}]$. La concentración vuelve como $10^{-\mathrm{pH}}$. ^{1 4}
• Producto. A $25\ ^\circ\mathrm{C}$, $[\mathrm{H_3O^+}][\mathrm{OH^-}] = 1{,}0 \times 10^{-14}$. ²
• Suma. A esa temperatura, pH más pOH es 14,00. ¹
• Carácter. pH menor que 7,00: ácida. Mayor que 7: básica. ³
• Sentido. Subir el pH baja el hidronio y sube el hidróxido. ²

Ejemplos resueltos

De la concentración al pH

A $25\ ^\circ\mathrm{C}$, $[\mathrm{H_3O^+}] = 5{,}0 \times 10^{-6}\ \mathrm{M}$.

1. $\mathrm{pH} = -\log(5{,}0 \times 10^{-6}) = 6 - \log 5$. Con $\log 5 \approx 0{,}70$, el pH es 5,30. ¹
2. 5,30 es menor que 7,00. La disolución es ácida. ³
3. $[\mathrm{OH^-}] = \dfrac{1{,}0 \times 10^{-14}}{5{,}0 \times 10^{-6}} = 2{,}0 \times 10^{-9}\ \mathrm{M}$. ²
4. $\mathrm{pOH} = -\log(2{,}0 \times 10^{-9}) = 9 - \log 2$. Con $\log 2 \approx 0{,}30$, el pOH es 8,70.
5. 5,30 más 8,70 da 14,00. Si no cierra, revisa el exponente antes de cambiar el carácter. ¹

Del pOH al carácter

A $25\ ^\circ\mathrm{C}$ el pOH es 2,40.

1. $\mathrm{pH} = 14{,}00 - 2{,}40 = 11{,}60$. ¹
2. 11,60 es mayor que 7. La disolución es básica. ³
3. $[\mathrm{OH^-}] = 10^{-2{,}40}$. Como $\log 4{,}0 \approx 0{,}60$, un pOH de 2,40 corresponde a $4{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{M}$. ⁴
4. El hidronio es $K_{\mathrm{w}}$ entre ese hidróxido: $2{,}5 \times 10^{-12}\ \mathrm{M}$. El ion minoritario no vuelve la disolución ácida. Manda el pH. ²

Quién tiene más hidróxido

Cuatro disoluciones, a $25\ ^\circ\mathrm{C}$, tienen pH 2, 6, 8 y 12.

1. El hidróxido crece cuando crece el pH, porque el producto con el hidronio está fijo. ²
2. La mayor $[\mathrm{OH^-}]$ es la de pH 12. La menor es la de pH 2.
3. pH 8 ya es básica, pero su hidróxido es menor que el de pH 12. "Básica" no significa "la más básica del grupo". ³
4. No elijas el pH más chico por parecer "más químico". Ese extremo es el más ácido y el más pobre en hidróxido.

Errores comunes

Leer $[\mathrm{H^+}] = 1 \times 10^{-3}\ \mathrm{M}$ como pH 11. El menos logaritmo de $10^{-3}$ es 3, no 11. El 11 sería el pOH, o el pH de una disolución con hidróxido $10^{-3}\ \mathrm{M}$. Y pH 3, a $25\ ^\circ\mathrm{C}$, es ácido, no básico. ^{1 3}

Sumar 14 cuando la temperatura no es $25\ ^\circ\mathrm{C}$. A $100\ ^\circ\mathrm{C}$ el producto ya no es $1{,}0 \times 10^{-14}$. Si el problema calla la temperatura, el capítulo y el examen usan el 14,00. ²

Invertir el ion que piden. pH 9 no da $[\mathrm{OH^-}] = 1 \times 10^{-9}\ \mathrm{M}$. Ese exponente es el del hidronio. El hidróxido, a $25\ ^\circ\mathrm{C}$, lleva el exponente del pOH, que es 5. ^{4 1}

Cómo lo pregunta el examen

Si dan $[\mathrm{H^+}]$ como potencia de diez, el pH es el exponente cambiado de signo cuando la cifra es 1. Luego se clasifica: por debajo de 7, ácido. No juntes "pH igual al exponente" con el adjetivo básico. ^{1 3}

Si dan el pOH, el pH es 14,00 menos ese pOH. Un pOH de 4 deja pH 10, y 10 es básico. El carácter sale del pH, no de llamar "ácido" a todo lo que tenga un 4 en el enunciado. ^{1 3}

Si dan el pH y piden hidróxido, primero el pOH y después $10^{-\mathrm{pOH}}$. Un pH de 9 tiene pOH 5 y $[\mathrm{OH^-}] = 1 \times 10^{-5}\ \mathrm{M}$, si la cifra es exacta. En un pH de 11, el hidronio es $1 \times 10^{-11}\ \mathrm{M}$ y el hidróxido es $1 \times 10^{-3}\ \mathrm{M}$. No intercambies los exponentes. ^{4 2}

Si preguntan cuál disolución tiene más hidróxido, gana el mayor pH del grupo. Un pH de 13 le gana a 9, a 7 y a 1. ³

Resumen

• $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H_3O^+}]$ y $[\mathrm{H_3O^+}] = 10^{-\mathrm{pH}}$. ^{1 4}
• A $25\ ^\circ\mathrm{C}$, el producto de hidronio e hidróxido es $1{,}0 \times 10^{-14}$. ²
• A esa temperatura, pH y pOH suman 14,00. ¹
• pH menor que 7,00: ácida. pH mayor que 7: básica. ³
• A mayor pH, menor hidronio y mayor hidróxido. ²