Derivación implícita

¿Cómo se deriva cuando y no está despejada?

Si $y$ se escribe por completo en términos de $x$, como $y = x^{2} + 1$, la función es explícita. Si la relación es una ecuación donde $y$ no queda toda en términos de $x$, como $y - x^{2} = 1$, la misma función está definida de forma implícita. Una ecuación puede definir varias funciones. Cuando y no queda despejada, la gráfica a veces no pasa la prueba de la recta vertical. Aun así, trozos de esa gráfica sí son funciones, y cada trozo tiene su tangente. ¹

Derivar de forma implícita encuentra $\frac{dy}{dx}$ sin despejar $y$. Sirve justo cuando despejar es incómodo o imposible. Los pasos son estos:

1. Deriva los dos lados. $y$ es función de $x$, así que entra la cadena, de afuera hacia adentro. Por eso $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$, pero $\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$.
2. Junta a la izquierda todo término que traiga $\frac{dy}{dx}$. El resto pasa a la derecha.
3. Factoriza $\frac{dy}{dx}$ en la izquierda.
4. Divide entre la expresión que quedó multiplicando a $\frac{dy}{dx}$.

El resultado suele depender de $x$ y de $y$. A veces se puede dejar solo en $x$. En general no.

La misma pendiente sirve para la tangente. Se sustituye el punto en $\frac{dy}{dx}$ y se arma la recta con la forma punto-pendiente. Si el punto está en la rama de abajo de una circunferencia, se usa esa $y$ negativa. La fórmula $-\frac{x}{y}$ ya cambia de signo al cambiar el signo de $y$.

Para una segunda derivada se vuelve a derivar $\frac{dy}{dx}$, otra vez con la cadena y con el cociente si la primera derivada es un cociente. Donde todavía aparezca $\frac{dy}{dx}$, se sustituye la expresión ya obtenida. Si la ecuación original relaciona $x^{2} + y^{2}$ con una constante, esa relación puede simplificar el numerador.

Ideas clave

• Explícita o no. Explícita: $y$ está escrita solo con $x$. Implícita: la ecuación no despeja $y$. ¹
• Cuatro pasos. Deriva ambos lados, aísla los términos con $\frac{dy}{dx}$, factoriza y divide. ¹
• Cadena en y. Cada $y$ aporta un factor $\frac{dy}{dx}$. La de $y^{2}$ es $2y\frac{dy}{dx}$. ¹
• Dos variables. $\frac{dy}{dx}$ puede quedar en $x$ y en $y$. El punto dice cuál rama usas. ¹
• Tangente. La pendiente en el punto es esa derivada evaluada ahí. ¹
• Segunda. Se deriva otra vez y se sustituye $\frac{dy}{dx}$ por lo que ya salió. ¹

Ejemplos resueltos

Una circunferencia que no es la del origen con radio 5

Si $x^{2} + y^{2} = 10$, halla $\frac{dy}{dx}$.

1. Deriva: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$. La constante 10 da 0. ¹
2. Pasa $2x$ a la derecha: $2y\frac{dy}{dx} = -2x$.
3. Divide entre $2y$, con $y \neq 0$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
4. En $(1, 3)$, que cumple $1 + 9 = 10$, la pendiente es $-\frac{1}{3}$. En $(1, -3)$ sería $\frac{1}{3}$. Misma fórmula, otra rama.

Segunda derivada en esa curva

Con $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, halla $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.

1. Deriva el cociente: $\frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\right) = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^{2}} = \frac{-y + x\frac{dy}{dx}}{y^{2}}$. ¹
2. Sustituye $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$: el numerador es $-y + x\left(-\frac{x}{y}\right) = -y - \frac{x^{2}}{y} = \frac{-y^{2} - x^{2}}{y}$.
3. Toda la fracción queda $\frac{-y^{2} - x^{2}}{y^{3}} = -\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$.
4. Como $x^{2} + y^{2} = 10$, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{10}{y^{3}}$.

Un producto con y

Si $x^{2} y = 4$, halla la pendiente en $(2, 1)$.

1. Producto en el lado izquierdo: $2x \cdot y + x^{2} \frac{dy}{dx} = 0$. ¹
2. $x^{2} \frac{dy}{dx} = -2xy$, así que $\frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{x}$ si $x \neq 0$.
3. El punto $(2, 1)$ está en la curva porque $4 \cdot 1 = 4$. La pendiente es $-\frac{2}{2} = -1$.
4. No derives $x^{2} y$ como si $y$ fuera constante. Perderías el término $x^{2} \frac{dy}{dx}$.

Errores comunes

Derivar $y^{2}$ como $2y$ y no multiplicar por $\frac{dy}{dx}$. Eso trata a $y$ como si no dependiera de $x$. ¹

Despejar $y$ a la fuerza y quedarte con una sola rama. En $x^{2} + y^{2} = 10$ hay dos funciones. El punto dice cuál.

Olvidar que la constante del lado derecho deriva a 0, o mover un término con $\frac{dy}{dx}$ a la derecha sin cambiarle el signo.

Sustituir el punto antes de derivar. Primero sale la fórmula de la pendiente. El punto entra al evaluar.

Cómo lo pregunta el examen

Dan una ecuación con $x$ y $y$ mezcladas y piden $\frac{dy}{dx}$, a veces ya evaluada como pendiente de la tangente en un punto de la curva. El punto cumple la ecuación. Si no la cumple, no está en la gráfica y no hay tangente que pedir. El trabajo es derivar con la cadena, juntar los factores $\frac{dy}{dx}$ y sustituir al final. No hace falta despejar $y$ si la pendiente quedó en términos de las dos variables.

Resumen

• Una ecuación puede definir $y$ sin despejarla, y a veces define más de una función. ¹
• Se derivan los dos lados y cada $y$ trae su $\frac{dy}{dx}$ por la cadena. ¹
• Se aísla, se factoriza y se divide para despejar $\frac{dy}{dx}$. ¹
• La pendiente en un punto es esa expresión evaluada en el punto. ¹
• La segunda derivada se obtiene derivando otra vez y sustituyendo la primera. ¹