Recta tangente y normal a una curva

¿Cuál es la ecuación de la tangente y de la normal?

En un punto donde $f'(a)$ existe, la tangente es la recta que pasa por $(a, f(a))$ con pendiente $f'(a)$. ¹ Antes de escribir la recta hay que derivar el polinomio o la función que te den. Con el punto y la pendiente, la ecuación queda

$$y - f(a) = f'(a)\,(x - a).$$

Esa es la forma que el cálculo usa al armar la tangente: se resta la ordenada del punto y se iguala a la pendiente por el avance en $x$.

La normal es la recta que pasa por el mismo punto y es perpendicular a la tangente. Dos rectas no verticales son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocas negativas, esto es, cuando el producto de las pendientes vale $-1$. ² Si la tangente tiene pendiente $m$ distinta de 0, la normal tiene pendiente $-\frac{1}{m}$. La cuenta de ese producto ya está en el producto de las pendientes. Una horizontal y una vertical también son perpendiculares, aunque la vertical no tenga pendiente numérica.

Por eso el caso $f'(a) = 0$ se escribe aparte. La tangente es horizontal, $y = f(a)$. La normal es la vertical $x = a$. No intentes dividir entre 0 para "hallar" $-\frac{1}{0}$.

Si en el punto la tangente es vertical, la derivada no existe como número finito y la normal es horizontal. Eso se ve en gráficas con tangente vertical. Mientras $f'(a)$ sea un número distinto de 0, las dos ecuaciones salen del mismo punto y de las dos pendientes $m$ y $-\frac{1}{m}$.

El orden que no se revuelve es este. Calcula $f(a)$ para tener el punto. Calcula $f'(x)$ y luego $f'(a)$ para la pendiente de la tangente. Escribe la tangente. Si piden la normal y $f'(a) \neq 0$, cambia la pendiente por su recíproco negativo y usa el mismo punto. Si $f'(a) = 0$, la normal es $x = a$.

Ideas clave

• Tangente. Pasa por $(a, f(a))$ con pendiente $f'(a)$, si la derivada existe. ¹
• Ecuación. $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ¹
• Normal. Misma punto, perpendicular a la tangente. ²
• Producto. Si las dos pendientes existen y las rectas son perpendiculares, su producto es $-1$. ²
• Horizontal. Si $f'(a) = 0$, la tangente es $y = f(a)$ y la normal es $x = a$. ^{1 2}
• Orden. Primero el punto, después la derivada en $a$, y solo entonces la recta. ¹

Ejemplos resueltos

Tangente y normal con pendiente distinta de cero

Halla la tangente y la normal a $f(x) = x^{2} - x$ en $x = 3$.

1. $f(3) = 6$. El punto es $(3, 6)$. ¹
2. $f'(x) = 2x - 1$, así que $f'(3) = 5$.
3. La tangente es $y - 6 = 5(x - 3)$, o sea $y = 5x - 9$.
4. La pendiente normal es $-\frac{1}{5}$, porque $5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$. ²
5. $y - 6 = -\frac{1}{5}(x - 3)$. Entonces $y = -\frac{1}{5}x + \frac{33}{5}$.

Tangente horizontal

Halla la tangente y la normal a $f(x) = x^{2} - 6x$ en el punto donde la derivada se anula.

1. $f'(x) = 2x - 6$. Se anula en $x = 3$. ¹
2. $f(3) = 9 - 18 = -9$. El punto es $(3, -9)$.
3. La tangente es horizontal: $y = -9$.
4. La normal es vertical: $x = 3$. No hay un número $m$ para esa normal. ²

Solo la pendiente, si eso piden

Para $f(x) = x^{2} - x$, la pendiente de la tangente en $x = 3$ es 5, y la de la normal es $-\frac{1}{5}$.

1. Si el reactivo pide solo la pendiente, no hace falta la ecuación completa. Sí hace falta $f'(3)$. ¹
2. La pendiente de la normal no es $-5$. $5 \cdot (-5) = -25$, que no es $-1$. ²
3. Tampoco es 5. La normal no copia la pendiente de la tangente.

Errores comunes

Usar $f'(a)$ como si fuera la ordenada. En el primer ejemplo la altura es 6 y la pendiente es 5. Son datos distintos. ¹

Cambiar solo el signo de la pendiente y no el recíproco. La perpendicular a 5 es $-\frac{1}{5}$, no $-5$. ²

Escribir $y = f'(a)(x - a)$ y olvidar sumar $f(a)$. La recta tiene que pasar por el punto de la curva.

Dividir entre cero cuando la tangente es horizontal. Ahí la normal se escribe $x = a$. ²

Cómo lo pregunta el examen

Un reactivo pide la pendiente de la tangente en un valor de $x$. Otro pide la ecuación completa de la tangente, y otro la de la normal. En la normal, el punto es el mismo de la curva. No es un punto cualquiera del plano. Si la derivada sale 0, la respuesta de la normal es una ecuación $x =$ constante, no un cociente. Conviene simplificar la recta a la forma $y = mx + b$ solo después de plantear el punto y la pendiente, para no perder el término independiente.

Resumen

• La tangente en $a$ pasa por $(a, f(a))$ y tiene pendiente $f'(a)$. ¹
• Su ecuación es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ¹
• La normal pasa por ese mismo punto y es perpendicular a la tangente. ²
• Si la pendiente de la tangente es $m \neq 0$, la de la normal es $-\frac{1}{m}$. ²
• Si $f'(a) = 0$, la tangente es horizontal y la normal es la vertical $x = a$. ^{1 2}