Velocidad y aceleración con derivadas

¿Cómo salen la velocidad y la aceleración de la posición?

Si $s(t)$ es la posición en el instante $t$, el cambio de posición entre $t = a$ y otro tiempo $t$, dividido entre el tiempo transcurrido, es la velocidad media:

$$v_{\text{med}} = \frac{s(t) - s(a)}{t - a}.$$

Ese cociente es la pendiente de la secante en la gráfica de $s$. La velocidad instantánea en $a$ es el límite, es decir la derivada de la posición:

$$v(a) = s'(a) = \lim_{t \to a} \frac{s(t) - s(a)}{t - a}.$$

¹ La pendiente de la tangente a la gráfica de $s$ es esa velocidad instantánea. Para un polinomio, bajar el exponente una vez da $v(t)$. Bajarlo otra vez da la aceleración.

La derivada de la derivada es la derivada de orden superior. Si la primera derivada de la posición es la velocidad, la derivada de la velocidad es la aceleración:

$$a(t) = v'(t) = s''(t).$$

² En notación, $s''(t)$, $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$ o $v'(t)$ dicen lo mismo. Una tercera derivada se escribe $s'''(t)$ o $s^{(3)}(t)$. A partir de la cuarta conviene el paréntesis en el orden, $s^{(4)}(t)$, para no acumular primas. Derivar una constante da 0, así que un polinomio de grado $n$ tiene derivada $n$-ésima constante y la siguiente es 0.

El signo de $v(t)$ no es la rapidez. Si $s$ crece, $v$ es positiva. Si $s$ decrece, $v$ es negativa. La aceleración positiva dice que la velocidad está creciendo. Puede crecer y seguir siendo negativa, como pasar de $-4$ a $-1$. En una tabla de velocidades se puede estimar una aceleración media con el mismo cociente de incrementos. Eso es una estimación. La aceleración instantánea es la derivada, no el cociente de un tramo largo.

Para evaluar en un instante, primero deja la función derivada y solo después sustituye $t$. Si sustituyes primero, $s(2)$ es un número y su derivada es 0, que no es la velocidad en ese segundo.

Ideas clave

• Media. $v_{\text{med}} = \frac{s(t) - s(a)}{t - a}$ en un tramo. Es la pendiente de la secante. ¹
• Instantánea. $v(a) = s'(a)$, el límite de ese cociente. ¹
• Aceleración. $a(t) = v'(t) = s''(t)$. ²
• Signo. $v > 0$ cuando la posición crece y $v < 0$ cuando decrece. ¹
• Orden. $s^{(n)}$ es derivar $n$ veces. Después del grado de un polinomio, la siguiente derivada es 0. ²
• Evalúa al final. La derivada se calcula como función y el instante se sustituye después. ¹

Ejemplos resueltos

Media, instante y aceleración

$s(t) = t^{2} - 4t$. Halla la velocidad media de $t = 1$ a $t = 3$, la velocidad en $t = 1$ y la aceleración.

1. $s(3) = -3$ y $s(1) = -3$. La media es $\frac{-3 - (-3)}{3 - 1} = 0$. ¹
2. $v(t) = s'(t) = 2t - 4$. En $t = 1$, $v(1) = -2$. La posición va en disminución en ese instante.
3. $a(t) = v'(t) = 2$. Es constante. ²
4. En $t = 3$, $v(3) = 2$. La velocidad cambió de negativa a positiva, y la aceleración 2 empuja en ese sentido. La media 0 no dice lo que pasa en $t = 1$.

Un cubo en un segundo pedido

$s(t) = t^{3} + t$. Halla velocidad y aceleración en $t = 2$.

1. $v(t) = 3t^{2} + 1$ y $a(t) = 6t$. ^{1 2}
2. $v(2) = 13$ y $a(2) = 12$.
3. $s(2) = 10$ es la posición, no la velocidad. Si el reactivo pide metros por segundo, la respuesta es 13, no 10.

Hasta que se anula

Halla las derivadas de $f(x) = x^{4} - x$ hasta la que ya es cero.

1. $f'(x) = 4x^{3} - 1$. ²
2. $f''(x) = 12x^{2}$, $f'''(x) = 24x$, $f^{(4)}(x) = 24$ y $f^{(5)}(x) = 0$.
3. A partir de la quinta, seguir derivando deja 0. El grado 4 se agota en la cuarta derivada, que es constante, y la siguiente constante ya derivada es 0.

Errores comunes

Llamar aceleración a la primera derivada de $s$. Esa es la velocidad. La aceleración deriva otra vez. ²

Sustituir el tiempo antes de derivar. $s(4)$ es un número. La velocidad en 4 es $s'(4)$, con la prima antes del paréntesis.

Leer una velocidad negativa como "más despacio". El signo marca el sentido. Comparar rapidez pide el valor absoluto. ¹

Confundir la aceleración media de una tabla con $a(t)$. El cociente entre dos velocidades estima. La función $a(t)$ es el límite, la derivada de $v$. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Dan $s(t)$ polinómica, con unidades de metros y segundos, y piden $v$ en un instante o $a$ en un instante. A veces piden la segunda derivada de un polinomio sin hablar de un móvil: es el mismo cálculo que $s''(t)$. Otra variante pide una derivada de orden alto de un polinomio, que se hace bajando el exponente hasta que se acabe. Estas fichas no modelan una altura de caída libre con un coeficiente gravitatorio. Si el enunciado trae esa altura, se deriva igual: primera para la velocidad, segunda para la aceleración.

Resumen

• La velocidad media es el cociente del cambio de posición entre el cambio de tiempo. ¹
• La velocidad instantánea es $s'(t)$. ¹
• La aceleración es $v'(t)$, la segunda derivada de la posición. ²
• El signo de la velocidad dice si la posición crece o decrece. ¹
• En un polinomio, derivar más veces que el grado da 0. ²