Rectas paralelas y perpendiculares

¿Qué pendientes se acompañan y cuáles se cruzan en escuadra?

Dos rectas del mismo plano son paralelas si no se cortan. En pendiente, eso se ve porque suben igual. Son perpendiculares si forman un ángulo recto. Entonces una pendiente es el recíproco negativo de la otra. Con ese dato y un punto se arma la ecuación. ^{1 2}

Si no son verticales, las paralelas distintas comparten $m$ y tienen distinto cruce con el eje vertical. El mismo cruce significaría una sola recta. Las verticales paralelas se distinguen porque cortan el eje horizontal en lugares distintos. En las perpendiculares, el producto de las pendientes es $-1$, salvo cuando una es vertical y la otra horizontal: esas dos siempre forman ángulo recto y una de ellas no tiene pendiente numérica. Para la paralela por un punto se copia $m$, se sustituye el punto y se despeja. Para la perpendicular primero se cambia $m$ por $-1/m$ y después se hacen los mismos pasos. ^{1 2}

Ideas clave

• Paralelas. Están en el mismo plano y no se cortan. Si sus pendientes son $m_1$ y $m_2$, entonces $m_1 = m_2$, y sus cruces con el eje vertical son distintos. ¹
• Verticales paralelas. Dos rectas verticales paralelas tienen distintas intersecciones con el eje horizontal. ¹
• Perpendiculares. Forman un ángulo recto. Sus pendientes son recíprocas y de signo contrario: $m_1 = -\frac{1}{m_2}$. El producto es $m_1 \cdot m_2 = -1$. ¹
• Horizontal y vertical. Una recta vertical y una horizontal siempre son perpendiculares. ¹
• Construir la paralela. Se lee la pendiente de la recta dada, se conserva, y se sustituye el punto pedido en $y - y_1 = m(x - x_1)$. ²
• Construir la perpendicular. Se cambia la pendiente por su recíproco negativo y se sustituye el punto en la misma forma. ²

Ejemplos resueltos

Paralela a una recta dada

Halla la recta paralela a $y = \frac{1}{2}x + 1$ que pasa por $(2, 3)$.

1. La pendiente dada es $\frac{1}{2}$. La paralela usa la misma. ¹
2. $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2)$. ²
3. $y - 3 = \frac{1}{2}x - 1$, luego $y = \frac{1}{2}x + 2$.
4. El cruce vertical es 2, no 1. Si saliera el mismo cruce, sería la misma recta, no una paralela distinta. ¹

Perpendicular por el mismo punto

Ahora la perpendicular a $y = \frac{1}{2}x + 1$ por $(2, 3)$.

1. El recíproco negativo de $\frac{1}{2}$ es $-2$, porque $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$. ¹
2. $y - 3 = -2(x - 2)$. ²
3. $y - 3 = -2x + 4$, luego $y = -2x + 7$.
4. No uses $2$ como pendiente perpendicular. El recíproco de $\frac{1}{2}$ sin el signo sería 2, y el producto $(\frac{1}{2})(2) = 1$, no $-1$.

Una vertical

Escribe la perpendicular a $x = 4$ que pasa por $(1, -2)$.

1. $x = 4$ es vertical. Una perpendicular a una vertical es horizontal. ¹
2. La horizontal por $(1, -2)$ tiene ordenada constante: $y = -2$. ²
3. No busques un número $m$ para la vertical. Su ecuación ya dice que toda abscisa de esa recta es 4.

Errores comunes

Copiar la pendiente y también el cruce vertical. Entonces no hay una paralela nueva: es la misma recta. ¹

Cambiar solo el signo y no el recíproco. La perpendicular a una pendiente 3 es $-\frac{1}{3}$, no $-3$. El producto tiene que ser $-1$. ¹

Olvidar que horizontal y vertical ya son perpendiculares aunque una no tenga pendiente numérica. ¹

Sustituir el punto en la recta dada para "comprobar" la nueva. El punto pedido está en la paralela o en la perpendicular, no tiene que estar en la recta original. ²

Cómo lo pregunta el examen

Te dan una ecuación y un punto, y piden la paralela. Lee $m$, consérvala y arma $y - y_1 = m(x - x_1)$. ²

Si piden la perpendicular, cambia $m$ por $-\frac{1}{m}$ antes de sustituir el punto. Comprueba que el producto de las dos pendientes sea $-1$. ¹

Si una ecuación es $x = a$, la paralela es otra vertical y la perpendicular es horizontal, $y$ igual a la ordenada del punto. ¹

Resumen

• Paralelas: misma pendiente y distinto cruce con el eje vertical.
• Perpendiculares: el producto de las pendientes es $-1$.
• Una vertical y una horizontal son perpendiculares.
• La paralela conserva $m$ y usa el punto nuevo.
• La perpendicular usa el recíproco negativo y el punto nuevo.