Distancia de un punto a una recta

¿Cuál es el camino más corto hasta la recta?

Desde un punto fuera de una recta se pueden trazar muchos segmentos hasta ella. El más corto es el que cae en perpendicular. Esa longitud es la distancia del punto a la recta. La ecuación de la recta tiene que estar igualada a cero antes de sustituir. ^{1 2}

Cualquier segmento inclinado hasta la misma recta es más largo que el perpendicular. Por eso la distancia no es una resta suelta de coordenadas: hace falta la ecuación escrita como $Ax + By + C = 0$. El numerador $A x_p + B y_p + C$ se divide entre la raíz de $A$ al cuadrado más $B$ al cuadrado. Si el cociente sale negativo, se cambia el signo de la raíz para que la longitud quede positiva. El valor absoluto del numerador, con la raíz positiva, dice lo mismo. Si el punto ya cumple la ecuación, el numerador es cero y la distancia es cero. ^{1 2}

Ideas clave

• Definición. La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto hasta la recta. Es la distancia más corta. ¹
• Forma de la recta. La fórmula usa $Ax + By + C = 0$. El término independiente va del mismo lado que $Ax$ y $By$. ²
• Fórmula. Para el punto $P(x_p, y_p)$, $d = \frac{A x_p + B y_p + C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}$. El signo de la raíz se elige para que el cociente sea positivo. ²
• El valor absoluto hace lo mismo. Quedarse con el valor absoluto del numerador y la raíz positiva deja la longitud sin signo. ²
• Un punto de la recta da cero. Si $P$ cumple la ecuación, el numerador es 0 y la distancia es 0. ²

Ejemplos resueltos

Un cociente de 2 entre 5

Halla la distancia de $P(1, 1)$ a la recta $3x + 4y - 5 = 0$.

1. $A = 3$, $B = 4$, $C = -5$, $x_p = 1$, $y_p = 1$. ²
2. Numerador: $3(1) + 4(1) + (-5) = 2$. ²
3. Denominador: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. ²
4. $d = \frac{2}{5}$. El numerador ya es positivo, así que no hay que cambiar el signo.

La recta todavía no está igualada a cero

Halla la distancia de $Q(0, 2)$ a $x - 2y = 4$.

1. Pasa el 4: $x - 2y - 4 = 0$. Entonces $A = 1$, $B = -2$, $C = -4$. ²
2. Numerador: $1(0) + (-2)(2) + (-4) = -8$. ²
3. $\sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$. El cociente con raíz positiva sería negativo, así que se toma el valor absoluto: $d = \frac{8}{\sqrt{5}}$. ²
4. No uses $C = 4$. Ese 4 estaba del otro lado de la igualdad.

Comprobar un punto de la recta

$R(2, -1)$ está en $x + 2y = 0$, porque $2 + 2(-1) = 0$. La distancia tiene que ser 0.

1. $x + 2y + 0 = 0$. Numerador en $R$: $2 + 2(-1) = 0$. ²
2. El denominador $\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ no es cero, pero el cociente sí. ²
3. Distancia 0 significa que el punto ya está en la recta, no que la fórmula falló.

Errores comunes

Medir un segmento inclinado y llamarlo distancia a la recta. El segmento de la definición es perpendicular. ¹

Dejar un número del lado derecho. $x - 2y = 4$ no es la forma de la fórmula hasta restar 4. El signo de $C$ cambia el numerador. ²

Olvidar el cuadrado de $B$ cuando $B$ es negativo. $(-2)^2 = 4$, no $-4$. ²

Reportar un cociente negativo. Una longitud se deja positiva eligiendo el signo de la raíz, o con valor absoluto. ²

Cómo lo pregunta el examen

La recta llega como $Ax + By + C = 0$ o hay que igualarla a cero. Sustituye el punto solo en el numerador. El denominador depende de $A$ y $B$, no del punto. ²

Si el numerador sale negativo, conserva la longitud positiva. Simplifica la raíz cuando $A^2 + B^2$ es un cuadrado perfecto, como 25. ²

La respuesta es una longitud. No es la ecuación de la perpendicular. Esta ficha no pide el pie de la perpendicular, solo la medida. ¹

Resumen

• La distancia es la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta.
• La recta se escribe $Ax + By + C = 0$.
• $d$ es el valor absoluto de $Ax_p + By_p + C$ dividido entre $\sqrt{A^2 + B^2}$.
• El signo se ajusta para que la longitud quede positiva.
• Si el punto está en la recta, la distancia es 0.