Fuerza resultante y suma de vectores

¿Qué es la fuerza resultante?

Empujas una caja hacia la banqueta y el viento la empuja de lado. La caja no obedece a uno solo de esos empujones: obedece a la resultante, el vector que queda al sumarlos. La dinámica, a diferencia de la cinemática, pregunta por qué cambia el movimiento, y la respuesta siempre es una fuerza. ¹

Una fuerza es un vector. Tiene magnitud, dirección y sentido. La unidad del SI es el newton (N). OpenStax pide resolver cada fuerza en componentes horizontales y verticales antes de sumar, y dibujar un diagrama en el que las flechas salgan del cuerpo. En ese dibujo no van las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre otros: solo las que recibe. ¹

Sobre un mismo eje, las fuerzas se suman con signo. Elige positivo, por ejemplo hacia el este y hacia el norte. Una fuerza al oeste entra con signo menos. Cuando ya tienes una componente horizontal y una vertical, son perpendiculares, y su magnitud sale con Pitágoras. La primera condición de equilibrio es que esa suma vectorial valga cero en cada eje. ²

Ideas clave

• Misma línea: si apuntan al mismo sentido, $R = F_1 + F_2$. Si apuntan en sentidos contrarios, $R = F_1 - F_2$, en el sentido de la mayor. ¹
• Perpendiculares: $R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$. No se suman ni se restan como números sueltos. ¹
• Componentes: una fuerza $F$ con ángulo $\theta$ sobre la horizontal se parte en $F_x = F\cos\theta$ y $F_y = F\sin\theta$. Suma las $x$ entre sí y las $y$ entre sí. ¹
• En notación $\hat{i}$, $\hat{j}$: sumas los coeficientes de $\hat{i}$ y, aparte, los de $\hat{j}$, con su signo. La magnitud es la raíz de la suma de los cuadrados. ¹
• Equilibrante: misma magnitud que la resultante y sentido opuesto. Así cada eje suma cero, que es la condición $\sum F_x = 0$ y $\sum F_y = 0$. ²

Ejemplos resueltos

Dos jalones en cruz

Una argolla recibe 9 N hacia el este y 12 N hacia el norte. ¿Cuánto mide la resultante y hacia dónde hay que empujar para que la argolla no se mueva?

1. No están en la misma línea, así que 9 + 12 no es la respuesta.
2. $R = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ N.
3. El sentido de la resultante es hacia el noreste, más cargado al norte porque 12 es mayor que 9.
4. La equilibrante mide también 15 N y apunta al suroeste, contra la resultante.
5. Comprueba el triángulo: 9, 12 y 15 son el triple de 3, 4 y 5. Pitágoras cierra.

Tres fuerzas y dos ejes

Sobre un cuerpo actúan 10 N al este, 4 N al oeste y 6 N al norte. ¿Cuál es la magnitud de la resultante?

1. Eje horizontal, positivo al este: $10 - 4 = 6$ N al este.
2. Eje vertical: 6 N al norte. No hay nada al sur.
3. Esas dos ya son perpendiculares: $R = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ N, unos 8.5 N.
4. Si hubieras sumado 10, 4 y 6 como escalares, saldrían 20 N, que ignora que 10 N y 4 N se pelean.
5. Si sumaras 6 + 6 sin raíz, tratarías de escalares dos componentes que forman 90°.

Vectores escritos con $\hat{i}$ y $\hat{j}$

$\vec{A} = 4\hat{i} + \hat{j}$ y $\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j}$, en newtons. Halla la magnitud de $\vec{A} + \vec{B}$.

1. Suma las $\hat{i}$: $4 + (-1) = 3$.
2. Suma las $\hat{j}$: $1 + 2 = 3$.
3. Resultante: $3\hat{i} + 3\hat{j}$.
4. Magnitud: $\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ N.
5. El signo de $\hat{i}$ en $\vec{B}$ resta. Si lo ignoras, la componente horizontal queda en 5 y la magnitud ya no es la de este par.

Errores comunes

• Si dos fuerzas forman 90° y las sumas como 30 + 40, estás sumando escalares. Ese caso es la hipotenusa, no la suma ordinaria.
• Si restas dos fuerzas que no son opuestas, inventas un caso que no está en el dibujo. La resta solo vale en la misma línea y en sentidos contrarios.
• Si elevas al cuadrado y olvidas la raíz, el resultado queda en N², no en newtons.
• Si la equilibrante la pones en el mismo sentido que la resultante, duplicas el efecto en lugar de cancelarlo.
• Si en componentes sumas $\hat{i}$ con $\hat{j}$, mezclas ejes. Cada eje se suma por su lado y Pitágoras entra hasta el final.

Cómo lo pregunta el examen

Casi siempre hay una figura: flechas perpendiculares, tres fuerzas en cruz, o los vectores ya escritos como $a\hat{i} + b\hat{j}$. También piden la equilibrante, no la resultante. Lee el sentido que preguntan antes de calcular la magnitud: muchas opciones comparten el número y cambian solo el sentido.

El orden corto es: signos en cada eje, suma por eje, Pitágoras al final. Si el enunciado dice "en equilibrio", la fuerza que falta es la equilibrante de lo que ya estaba.

Resumen

• La fuerza es un vector. Su unidad es el newton.
• En la misma línea se suman o se restan según el sentido.
• Si son perpendiculares, $R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$.
• Con ángulo o con $\hat{i}$ y $\hat{j}$, primero se suman componentes y después se saca la magnitud.
• La equilibrante anula a la resultante: igual tamaño, sentido contrario.