Resolución de triángulos rectángulos

¿Qué razón despeja el lado que falta?

Cuando faltan lados de un rectángulo, eliges la función que representa la razón entre el lado desconocido y el lado conocido. No se prueba una razón al azar. El opuesto, el adyacente y la hipotenusa ya tienen dueño en seno, coseno y tangente. El paso nuevo es despejar. ^{1 3}

Si el dato es la hipotenusa y buscas el opuesto, el seno está listo: opuesto es hipotenusa por el seno. Si buscas el adyacente, el coseno está listo: adyacente es hipotenusa por el coseno. Si no conoces la hipotenusa y sí un cateto y el agudo de junto, la tangente compara los dos catetos y no necesita el lado largo. ³

El mismo procedimiento mide alturas y distancias a las que no llegas con una cinta. Armas un rectángulo en el que la altura, o la distancia, es uno de los lados, y conoces otro lado y un ángulo. El piso y la pared, o el piso y una rampa, suelen ser los catetos. La rampa, el cable o la visual suelen ser la hipotenusa. ²

Los dos agudos siguen sumando lo que falta para el recto: son complementarios. Si el problema da el ángulo de arriba y tú necesitas el de abajo, no mides otra vez. Usas el complemento, y recuerdas que el seno de uno es el coseno del otro. A veces conviene cambiar de ángulo para que el lado buscado quede opuesto, donde el seno es directo. ⁴

Antes de operar, dibuja el recto, marca el agudo que te dieron y escribe las tres palabras: opuesto, adyacente, hipotenusa. Si el lado buscado y el conocido no aparecen en una sola razón, es que marcaste el ángulo que no era. ³

Ideas clave

• Elección. La razón tiene que incluir el lado conocido y el lado que buscas. ¹
• Seno. Opuesto igual a hipotenusa por seno, cuando ambos están en el problema. ³
• Coseno. Adyacente igual a hipotenusa por coseno. ³
• Tangente. Opuesto y adyacente, sin usar la hipotenusa. ³
• Altura. Se modela como un lado del rectángulo. El otro dato es un lado y un ángulo. ²

Ejemplos resueltos

Cable y poste

Un cable de 20 m va del piso a un poste y forma un ángulo con el piso cuyo seno es $3 / 5$. ¿A qué altura llega el cable?

1. El cable es la hipotenusa. La altura es el cateto opuesto al ángulo con el piso. ²
2. La razón que los junta es el seno: opuesto entre hipotenusa. ^{1 3}
3. $3 / 5 = h / 20$.
4. $h = 20 \cdot 3 / 5 = 12$.
5. El cable llega a 12 m. 12 es menor que 20, como tiene que ser un cateto frente a la hipotenusa.

Sombra en el piso

La misma situación, pero ahora te dicen que el coseno del ángulo con el piso es $4 / 5$ y que la altura ya no importa. ¿A qué distancia del poste está el ancla del cable, si el cable sigue midiendo 20 m?

1. La distancia en el piso es el cateto adyacente al ángulo con el piso. ³
2. Coseno: adyacente entre hipotenusa. $4 / 5 = d / 20$. ¹
3. $d = 20 \cdot 4 / 5 = 16$.
4. Comprueba con el ejemplo anterior. Si seno es $3 / 5$ y coseno es $4 / 5$, los catetos 12 y 16 cumplen $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$.
5. El ancla está a 16 m del poste.

Sin hipotenusa

Desde 9 m de un muro, miras la punta con un ángulo cuyo tangente, respecto al piso, es $2 / 3$. ¿Qué altura tiene la punta sobre tus ojos?

1. No hay hipotenusa en los datos. Hay adyacente (9 m) y se busca el opuesto (la altura). ¹
2. Tangente es opuesto entre adyacente. $2 / 3 = h / 9$. ³
3. $h = 9 \cdot 2 / 3 = 6$.
4. La punta está 6 m por encima de los ojos. El muro y el piso forman el recto. ²
5. Si alguien usa seno aquí, le falta la hipotenusa. La tangente es la razón que sí cierra con estos dos datos.

Errores comunes

Multiplicas por la razón que no corresponde al lado. En el cable, la altura es opuesta, así que entra el seno. El coseno da la distancia en el piso, 16 m, no la altura de 12 m. Las dos cuentas usan el mismo cable de 20 m y no son intercambiables. ³

Divides cuando había que multiplicar. Si $\sin = h / 20$ y el seno vale $3 / 5$, despejar $h$ multiplica. Dividir 20 entre $3 / 5$ da $100 / 3$, que ya es mayor que la hipotenusa. Un cateto no puede ganar esa comparación. ³

Tratas un triángulo sin ángulo recto con opuesto, adyacente e hipotenusa. Esas tres palabras piden el recto. Si el problema no tiene un ángulo de 90 grados, esta página no alcanza: hacen falta las leyes de senos y de cosenos, en ese tema. ²

Cómo lo pregunta el examen

El dibujo trae un triángulo rectángulo, un ángulo agudo y un lado con número. La pregunta es la altura, el alcance en el piso o la longitud de la rampa. Identificas si el lado buscado es opuesto, adyacente o hipotenusa, y escribes una sola razón. Despejas. Comparas el resultado con la hipotenusa: el cateto tiene que quedar más corto.

Los distractores usan la razón de al lado, multiplican cuando el dato era un cateto y la incógnita era la hipotenusa, o dividen al revés. Si el ángulo dado es el de arriba y el de abajo es el que toca el piso, puedes pasar al complemento: el seno de uno es el coseno del otro, y el lado que era opuesto pasa a ser adyacente. ^{4 1}

Resumen

• Eliges la razón que contiene el lado conocido y el que buscas.
• Opuesto es hipotenusa por seno. Adyacente es hipotenusa por coseno.
• Sin hipotenusa, la tangente relaciona los dos catetos.
• Una altura inaccesible se dibuja como lado de un rectángulo.
• Un cateto nunca queda más largo que la hipotenusa.