Ley de senos y ley de cosenos

¿Qué ley usa un triángulo sin ángulo recto?

Un triángulo oblicuo no tiene ángulo recto. Se puede resolver sin bajar una altura que lo parta en dos rectángulos. La ley de los senos iguala razones: la razón entre la medida de un ángulo y la longitud de su lado opuesto es la misma para los otros dos ángulos. Todas esas proporciones son iguales. Para resolver, basta un par de razones que sí puedas armar. El ángulo alfa queda frente al lado a, beta frente a b y gamma frente a c. ^{1 5}

Esa ley no alcanza en dos casos. No ayuda cuando el ángulo conocido está entre dos lados conocidos: lado, ángulo, lado. Tampoco cuando se conocen los tres lados y ningún ángulo. Esos dos casos usan la ley de los cosenos. ²

La ley de los cosenos dice que el cuadrado de cualquier lado es la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del producto de esos dos lados por el coseno del ángulo que queda entre ellos. Para un lado que falta, necesitas el ángulo opuesto a ese lado, que en este enunciado es justo el ángulo incluido entre los otros dos. Si en cambio buscas un ángulo, necesitas el lado opuesto a ese ángulo. ³

El camino, cuando tienes dos lados y el ángulo entre ellos, es este. Dibujas el triángulo y marcas lo conocido. Aplicas la ley de cosenos para el lado o el ángulo que falta. Luego puedes usar senos o cosenos para un segundo ángulo. El ángulo que queda se cierra con la suma del triángulo. Los valores exactos se arrastran hasta el final. Si hay que redondear, el libro lo deja en décimas, salvo que pidan otra cosa. ^{4 1}

Si el triángulo sí tiene ángulo recto, no hace falta ninguna de estas dos leyes. El opuesto, el adyacente y la hipotenusa están en la resolución del rectángulo.

Ideas clave

• Etiqueta. El lado a está frente al ángulo A. Igual con b y c. ⁵
• Senos. La razón entre un ángulo y su lado opuesto se repite en los otros dos. Usas el par que tengas completo. ¹
• No es senos. Lado, ángulo, lado, y también tres lados sin ángulos, no salen con la ley de senos. ²
• Cosenos. El cuadrado de un lado suma los otros dos cuadrados y resta el doble del producto por el coseno del ángulo incluido. ³
• Orden. Primero el lado con cosenos. Después otro ángulo. Al final, el que falta. ⁴

Ejemplos resueltos

Dos lados y el ángulo entre ellos

$a = 2$, $b = 3$ y el ángulo incluido $C$ cumple $\cos C = 1 / 3$. Halla el lado $c$.

1. El ángulo conocido está entre los dos lados. Es el caso que la ley de senos no resuelve. ²
2. El lado que falta es el opuesto a $C$. La ley de cosenos pide ese ángulo. ³
3. $c^2$ es $a^2 + b^2$ menos el doble de $a \cdot b \cdot \cos C$.
4. $c^2 = 4 + 9 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (1 / 3) = 13 - 4 = 9$.
5. $c = 3$, porque un lado es positivo. El cuadrado 9 no se queda como respuesta si preguntan el lado.

Tres lados, un ángulo

Un triángulo tiene lados $a = 6$, $b = 5$ y $c = 7$. Quieres el ángulo $C$, el opuesto al lado 7.

1. Conoces los tres lados y ningún ángulo. Otra vez no es la ley de senos. ²
2. Para un ángulo hace falta el lado opuesto, y aquí $c = 7$ está frente a $C$. ³
3. Despeja el coseno desde el enunciado. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ pasa a $2ab \cos C = a^2 + b^2 - c^2$.
4. $2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos C = 36 + 25 - 49 = 12$. Entonces $60 \cos C = 12$ y $\cos C = 12 / 60 = 1 / 5$.
5. El ángulo $C$ es el que tiene coseno $1 / 5$. La ley llega hasta esa razón. El número de grados, si lo piden, sale de la función inversa, no de esta igualdad sola.

Cuál ley toca

Tienes el lado $a$, el ángulo $A$ opuesto a ese lado, el lado $b$ y el ángulo $B$ opuesto a $b$. Falta el lado que no está en esos datos.

1. Ya hay un lado con su ángulo opuesto, y otro lado con el suyo. ¹
2. La ley de senos arma la proporción con ese par. No necesitas el ángulo incluido. ²
3. Etiqueta bien: $a$ frente a $A$, $b$ frente a $B$. Si cruzas las letras, la proporción compara cosas que no se corresponden. ⁵
4. La ley de cosenos también existe, pero este dato no es lado, ángulo, lado. Forzar el coseno aquí inventa un ángulo incluido que no te dieron.
5. Llevas el valor exacto de la proporción hasta el último paso. ¹

Errores comunes

Usas Pitágoras porque viste tres lados. En el triángulo 6, 5 y 7, $6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61$, y $7^2 = 49$. No son iguales. No hay ángulo recto, así que el cuadrado del lado mayor no es la suma de los otros dos. Le falta el término con el coseno. ³

Sumas el producto en lugar de restarlo. La ley resta el doble del producto por el coseno del ángulo incluido. En el primer ejemplo, $4 + 9 + 4$ daría 17, no 9. El signo de esa resta es parte del enunciado. Si el coseno del incluido es negativo, el término $- 2ab \cos C$ se vuelve suma, y el lado opuesto queda más largo. No adelantes ese signo antes de ver el coseno. ³

Pones el lado $a$ frente al ángulo $B$. La etiqueta del libro es al revés: cada letra de lado mira a la misma letra de ángulo. Una proporción con las letras cruzadas compara un ángulo con el lado que no tiene enfrente. ⁵

Cómo lo pregunta el examen

Si el dibujo marca dos lados y el ángulo que forman, la pregunta es el tercer lado. Es ley de cosenos. El cuadrado de ese lado suma los otros dos cuadrados y resta el doble del producto por el coseno de ese ángulo. Un distractor suma ese término, otro se olvida del coseno y deja solo la suma de cuadrados, como si hubiera recto.

Si te dan un lado, el ángulo de enfrente y otro par igual, la proporción de la ley de senos es la herramienta. No cambies a cosenos por costumbre. Y si te dan los tres lados y piden un ángulo, despeja el coseno del ángulo opuesto al lado que te interesa. ^{2 3}

Resumen

• El lado a queda frente al ángulo A. Igual con b y c.
• La ley de senos iguala la razón de cada ángulo con su lado opuesto.
• No resuelve el ángulo metido entre dos lados, ni tres lados sin ángulos.
• La ley de cosenos resta el doble del producto por el coseno del ángulo incluido.
• En un oblicuo, Pitágoras no reemplaza esa resta.