Equilibrio de fuerzas y torca

¿Cuándo hay equilibrio y qué es la torca?

Una lámpara colgada no se cae ni se pone a girar. Un sube y baja se queda horizontal. En los dos casos el cuerpo está en equilibrio: no cambia su velocidad de traslación ni su velocidad de giro. OpenStax lo escribe con las dos sumas en cero. La primera, la de las fuerzas, ya apareció al sumar vectores:

$$\sum F_x = 0 \qquad \sum F_y = 0$$

La segunda es la de las torcas (el libro en español les dice torques):

$$\sum \tau = 0$$

Si esa suma no es cero, el cuerpo tiene aceleración angular. ¹

La torca de una fuerza mide qué tanto tiende a girar al cuerpo alrededor de un punto. Si $\vec{r}$ va del punto de giro al lugar donde se aplica la fuerza,

$$\tau = r F \sin\theta$$

$\theta$ es el ángulo entre $\vec{r}$ y la fuerza. Cuando empujas perpendicular al brazo, $\sin\theta = 1$ y queda $\tau = rF$. El brazo va en metros. ¹ Para partir las fuerzas en ejes antes de sumarlas, usa fuerza resultante.

Ideas clave

• Traslación: equilibrio si $\sum F = 0$ en cada eje. El cuerpo no gana ni pierde velocidad lineal. ¹
• Rotación: equilibrio si $\sum \tau = 0$. El cuerpo no empieza a girar ni deja de girar. ¹
• Torca perpendicular: $\tau = rF$, con $r$ en metros. Si el ángulo no es 90°, multiplica por $\sin\theta$. ¹
• Sube y baja: los pesos son $m g$, y $g$ está en los dos lados, así que basta $m_1 d_1 = m_2 d_2$. Quien pesa más se sienta más cerca del apoyo. ¹
• Plano con rapidez constante: la fricción cinética iguala a la componente del peso paralela al plano. De $mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta$ sale $\mu = \tan\theta$. ²

Ejemplos resueltos

La llave y la tuerca

Empujas con 25 N en el extremo de una llave de 40 cm, perpendicular a la llave. ¿Qué torca produces sobre la tuerca?

1. Pasa el brazo a metros: 40 cm = 0.40 m.
2. La fuerza es perpendicular, así que $\sin\theta = 1$.
3. $\tau = 0.40 \times 25 = 10$ N·m.
4. Si dejas los 40 como si fueran metros, salen 1,000 N·m, que es torca de maquinaria pesada, no de una tuerca.
5. La fuerza entra completa porque es perpendicular. Si empujaras a lo largo de la llave, hacia la tuerca, $\theta = 0$ y la torca sería cero: apretarías en dirección al centro y no giraría.

El sube y baja

Una niña de 25 kg se sienta a 1.8 m del apoyo. ¿A qué distancia, del otro lado, se sienta un niño de 45 kg para que la tabla no gire?

1. Equilibrio de torcas, tomando el apoyo como pivote. Los dos pesos son perpendiculares a la tabla horizontal, así que $\tau = d \cdot mg$.
2. $25 \times 1.8 = 45 \times d$.
3. $45 = 45d$, luego $d = 1$ m. (25 × 1.8 = 45.)
4. El niño pesa más, así que queda más cerca del apoyo. Si inviertes la proporción y lo sientas a $1.8 \times 45 / 25 = 3.24$ m, la tabla se va del lado de él.
5. $g$ no hizo falta: multiplica los dos pesos y se cancela.

Cuerda, techo y plano

Una lámpara de 60 N cuelga en reposo de dos cuerdas simétricas que forman 30° con el techo. ¿Cuál es la tensión de cada una? Usa $\sin 30^\circ = 1/2$. Después, un bloque baja a rapidez constante por un plano cuyo perfil es un triángulo de 5 m de alto y 12 m de base. ¿Cuánto vale $\mu_k$?

1. Cada cuerda forma 30° con el techo, así que su componente vertical es $T\sin 30^\circ$.
2. Son dos cuerdas y la lámpara no acelera: $2 T \sin 30^\circ = 60$.
3. $2 T \times 1/2 = T = 60$ N. El seno del ángulo con el techo es el que apunta hacia abajo, contra el peso.
4. En el plano, rapidez constante significa fuerza neta cero. Paralelo al plano, $mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta$.
5. $\mu = \tan\theta = 5 / 12 \approx 0.42$. No es el seno (5/13) ni el coseno (12/13).

Errores comunes

• Si repartes el peso de la lámpara entre dos cuerdas sin el ángulo, olvidas que parte de cada tensión jala en horizontal y solo el seno sostiene.
• Si mides el ángulo desde el techo y usas el coseno para la vertical, intercambias catetos.
• Si dejas el brazo de la torca en centímetros, el resultado queda cien veces grande.
• Si en el sube y baja sientas al más pesado más lejos, la torca de ese lado gana.
• Si en el plano con rapidez constante tomas $\mu = \sin\theta$, usaste la componente del peso y no el cociente entre las dos componentes.

Cómo lo pregunta el examen

La frase para completar pide fuerzas en la traslación y torcas en la rotación, en ese orden. La figura de la llave pide $\tau = Fd$ con el brazo en metros. El sube y baja es $m_1 d_1 = m_2 d_2$. La lámpara cuelga y hay que proyectar las tensiones. El plano que se baja "con velocidad constante" no pregunta aceleración: pregunta $\mu = \tan\theta$, y el triángulo de la figura trae los catetos.

Resumen

• Equilibrio de traslación: la suma de las fuerzas es cero.
• Equilibrio de rotación: la suma de las torcas es cero.
• Con la fuerza perpendicular al brazo, $\tau = rF$ en N·m.
• En el sube y baja, $m_1 d_1 = m_2 d_2$. Más masa, más cerca del apoyo.
• Si un bloque baja a rapidez constante, $\mu = \tan\theta$.