Ley de Hooke y el resorte

¿Qué dice la ley de Hooke?

Cuelgas un llavero de un resorte y el resorte baja un poco y se queda. Mientras no lo deformes de más, ese jalón de regreso es proporcional a lo que lo estiraste. OpenStax lo escribe para el resorte de un oscilador:

$$F_s = -kx$$

$k$ es la constante del resorte, en N/m, y $x$ es el desplazamiento desde el largo natural. El signo menos dice que la fuerza del resorte se opone al desplazamiento: es una fuerza de restitución. Si tú empujas o jalas para mantenerlo deformado, aplicas una fuerza de magnitud $kx$ en el sentido contrario. En los problemas del examen se pide esa magnitud, $F = kx$. ¹

$k$ grande es un resorte duro: hace falta mucha fuerza para estirarlo un metro. $k$ pequeña es un resorte blando. La constante es del resorte, no de la masa que le cuelgues, mientras sigas en la zona elástica. Si la fuerza se triplica, el estiramiento se triplica. No se eleva al cuadrado.

La fuerza que cuelga del resorte, cuando la masa está en reposo, es su peso. El peso es $P = mg$, no el número de kilogramos. ² Y $x$ entra en metros si $k$ está en N/m.

Ideas clave

• Ley de Hooke: el resorte empuja con $F_s = -kx$. La fuerza que tú aplicas para sostener la deformación tiene magnitud $F = kx$. ¹
• Constante: $k = F / x$. Unidades: newton entre metro. ¹
• Proporción directa: con $k$ fija, duplicar $F$ duplica $x$. Triplicar $F$ triplica $x$. ¹
• Centímetros: $x$ en la fórmula de N/m va en metros. 5 cm son 0.05 m, no 5. ¹
• Gráfica: si pones $F$ en el vertical y $x$ en el horizontal, $k$ es la pendiente. Una recta que pasa por el origen es justo esta ley. ¹

Ejemplos resueltos

Una masa colgada

Cuelgas 3 kg de un resorte y, ya en reposo, el resorte bajó 5 cm. ¿Cuánto vale $k$? Toma $g = 9.8$ m/s².

1. La fuerza que estira el resorte es el peso, no los 3 kg: $F = mg = 3 \times 9.8 = 29.4$ N.
2. El estiramiento en metros: 5 cm = 0.05 m.
3. $k = F / x = 29.4 / 0.05 = 588$ N/m.
4. Si divides 29.4 entre 5, salen 5.88 N/m, cien veces menos, porque dejaste los centímetros.
5. Si usas 3 kg como si fueran 3 N, $k$ sale 60 N/m y el resorte queda absurdo de blando para esa masa.

Comprimir

Un resorte tiene $k = 250$ N/m. ¿Qué fuerza hace falta para comprimirlo 6 cm?

1. $x = 0.06$ m. El signo de "comprimir" dice el sentido; la magnitud no cambia.
2. $F = kx = 250 \times 0.06 = 15$ N.
3. No dividas $k$ entre $x$. La ley multiplica.
4. No multipliques 250 por 6: estarías tratando cada centímetro como un metro y saldrían 1,500 N.
5. Esos 15 N son lo que tú empujas. El resorte empuja de vuelta con 15 N.

La pendiente, sin que te den la fórmula escrita

Una gráfica de fuerza contra alargamiento pasa por el origen y por el punto 9 N a 15 cm. ¿Cuál es $k$, y qué pasa con el alargamiento si la fuerza se triplica sin salir de la zona elástica?

1. $x = 0.15$ m.
2. $k = 9 / 0.15 = 60$ N/m. Esa es la pendiente, con el eje horizontal en metros.
3. Si alguien divide 15 cm entre 9 N, obtiene un número que no es $k$ y además invierte la pendiente.
4. Triplicar la fuerza, con $k$ fija, triplica $x$: de 15 cm pasaría a 45 cm.
5. No se multiplica por 9. La relación es lineal, no cuadrática.

Errores comunes

• Si tomas la masa colgada como la fuerza, olvidas $g$ y $k$ queda en las unidades equivocadas.
• Si dejas $x$ en centímetros con $k$ en N/m, la constante sale 100 veces más chica.
• Si despejas $k = x / F$, inviertes la pendiente de la gráfica.
• Si al triplicar la fuerza dices que $x$ se multiplica por 9, trataste la ley como si llevara un cuadrado. $F$ y $x$ crecen igual.
• Si quitas el signo menos de la fuerza del resorte y además dices que empuja en el sentido del estiramiento, el resorte dejaría de regresarse. El menos es la dirección de restitución.

Cómo lo pregunta el examen

El problema numérico cuelga una masa o da $k$ y unos centímetros. El primer paso, antes de multiplicar, es pasar a metros y convertir la masa en peso si lo que cuelga es una masa en reposo. La gráfica pide la pendiente $F / x$. La frase para completar solo quiere la proporción directa: si $F$ se triplica, $x$ se triplica.

Resumen

• El resorte restitutivo cumple $F_s = -kx$ dentro del límite elástico.
• La fuerza que tú aplicas tiene magnitud $F = kx$, y $k = F / x$ en N/m.
• $x$ va en metros cuando $k$ está en N/m.
• Si cuelga una masa en reposo, esa fuerza es el peso $mg$.
• En la gráfica de $F$ contra $x$, $k$ es la pendiente.