Gravitación universal y leyes de Kepler

¿Cómo se atraen dos masas?

El peso que ya usaste en la segunda ley es un caso de una ley más general. Newton propuso que cualquier masa atrae a cualquier otra. Si dos cuerpos se tratan como masas en sus centros, la fuerza sobre el primero apunta hacia el segundo y su magnitud es

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

$r$ es la distancia entre centros, no entre superficies. $G$ es una constante universal, la misma para una manzana y para un planeta. Duplicar una masa duplica $F$. Duplicar la distancia no divide $F$ entre 2: la divide entre $2^2 = 4$. ¹

Cerca de la superficie de la Tierra, $r$ es prácticamente el radio del planeta, unos 6,370 km, y la aceleración de caída vale $g = 9.80$ m/s². El peso $mg$ es esa fuerza gravitatoria. Igualando,

$$g = \frac{GM}{R^2}$$

para un cuerpo en la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$. Por eso $g$ cambia de un planeta a otro y también si te alejas del centro. ²

Kepler describió las órbitas antes de esta fórmula, y la ley de Newton las recupera. La primera: cada planeta recorre una elipse con el Sol en un foco. La segunda: la línea del Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, así que el planeta va más rápido cuando está más cerca. La tercera: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor. ³

Ideas clave

• Ley de Newton: $F = G m_1 m_2 / r^2$. Crece con cada masa y cae con el cuadrado de la distancia entre centros. ¹
• Superficie: $g = GM / R^2$ y el peso es $mg$. Una esfera simétrica se puede tratar como si toda su masa estuviera en el centro. ²
• Más lejos del centro: si $r$ se multiplica por $n$, $F$ queda dividida entre $n^2$. Al doble de distancia del centro, el peso es la cuarta parte. ¹
• Otro planeta: si su masa es $k$ veces la de la Tierra y su radio $n$ veces, la gravedad en su superficie es $g \times k / n^2$. ²
• Kepler: elipses con el Sol en un foco; áreas iguales en tiempos iguales, o sea más rapidez cerca del Sol; $T^2$ proporcional a $a^3$. ³

Ejemplos resueltos

Cambia una masa y cambia la distancia

Dos cuerpos se atraen con una fuerza $F$. Triplicas una de las masas y duplicas la distancia entre centros. ¿Cuál es la fuerza nueva?

1. La masa entra una vez en el numerador: triplicarla multiplica $F$ por 3.
2. La distancia entra al cuadrado en el denominador: duplicarla divide entre 4.
3. Factor total: $3 / 4$. La fuerza nueva es $\frac{3}{4}F$.
4. Si divides entre 2 en lugar de entre 4, olvidaste el cuadrado.
5. Si pones la distancia en el numerador, la fuerza crecería al alejarse, y la ley dice lo contrario.

Peso a tres radios y en otro planeta

En la superficie pesas 600 N. ¿Cuánto pesas en un punto cuya distancia al centro de la Tierra es el triple del radio terrestre? ¿Y en la superficie de un planeta con el triple de masa y el triple de radio?

1. A $r = 3R$, el factor es $1 / 3^2 = 1/9$. El peso pasa a $600 / 9 \approx 66.7$ N.
2. Tu masa no cambió. Cambió la distancia al centro.
3. En el otro planeta, $g' = g \times 3 / 3^2 = g / 3$.
4. El peso pasa a $600 / 3 = 200$ N.
5. Si solo miras la masa del planeta, dirías 1,800 N y olvidarías que estás tres veces más lejos de su centro. El radio pesa más en la fórmula porque va al cuadrado.

Dónde corre más el planeta

Un planeta sigue una elipse con el Sol en un foco. ¿En qué tramo de la órbita va más rápido, y por qué no es un círculo con el Sol en el centro?

1. La primera ley de Kepler: la trayectoria es una elipse y el Sol ocupa un foco, no "el centro" como se pensaba antes de Kepler.
2. La segunda: el segmento Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Cerca del Sol ese segmento es más corto, así que para barrer la misma área en el mismo tiempo el planeta tiene que avanzar más camino: va más rápido.
4. Lejos del Sol el segmento es largo y el planeta va más lento.
5. Rapidez constante en toda la órbita correspondería a un caso muy especial, no a la elipse en general.

Errores comunes

• Si al triplicar la distancia divides la fuerza entre 3, trataste la ley como inversa simple. El cuadrado la divide entre 9.
• Si intercambias masa y distancia, el factor queda de cabeza: la masa multiplica y $r^2$ divide.
• Si un satélite "al doble del radio" lo cuentas desde la superficie y no desde el centro, la distancia no es $2R$. La fórmula usa el centro.
• Si en otro planeta cancelas "doble masa" con "doble radio" y dejas el peso igual, olvidaste que el radio se eleva al cuadrado y el factor es $2 / 4 = 1/2$.
• Si dices que cerca del Sol el planeta va más lento, invertiste la segunda ley de Kepler.

Cómo lo pregunta el examen

El problema simbólico da $F$ y cambia una masa y la distancia. Escribes el factor de la masa y el factor $1/n^2$ de la distancia, y los multiplicas. El de superficie compara $M / R^2$ con la Tierra y aplica ese factor al peso en newtons, no a la masa. El de Kepler es conceptual: elipse, foco, y más rapidez en el tramo cercano.

Resumen

• $F = G m_1 m_2 / r^2$, con $r$ entre centros.
• En la superficie, $g = GM / R^2$ y el peso es $mg$.
• Si la distancia al centro se multiplica por $n$, la fuerza queda entre $n^2$.
• En otro planeta, el peso se multiplica por $(\text{factor de masa}) / (\text{factor de radio})^2$.
• Kepler: elipse con el Sol en un foco, áreas iguales en tiempos iguales, más rapidez cuando está cerca.