Conjuntos y diagramas de Venn

¿Qué se está juntando cuando dibujas dos círculos?

Un experimento es una operación planeada, hecha en condiciones controladas. Si el resultado no está decidido de antemano, el experimento es fortuito. Lanzar una moneda imparcial dos veces es un experimento. Cada producto de ese experimento es un resultado. El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. Se escribe con la letra $S$. Hay tres formas de mostrarlo: una lista, un diagrama de árbol o un diagrama de Venn. ¹

Una moneda imparcial tiene $S = \{H, T\}$, con $H$ para cara y $T$ para cruz. Un evento es cualquier combinación de resultados. Se nombra con una letra mayúscula, $A$ o $B$. La probabilidad del evento $A$ se escribe $P(A)$, pero el número entre cero y uno se trabaja en la ficha de probabilidad. Aquí el trabajo es saber qué resultados entran en cada conjunto. ¹

O, Y y complemento

Un resultado está en el evento $A$ O $B$ si está en $A$, o está en $B$, o está en los dos. En el libro, $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ y $B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$ dan

$$A \text{ O } B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}.$$

El $4$ y el $5$ no se anotan dos veces. Un resultado está en $A$ Y $B$ solo si está en los dos al mismo tiempo. Con esos mismos conjuntos, $A$ Y $B = \{4, 5\}$. ²

El complemento de $A$ se llama $A'$, y se lee "A prima". Son todos los resultados que no están en $A$. Si $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ y $A = \{1, 2, 3, 4\}$, entonces $A' = \{5, 6\}$. El libro anota que $P(A) + P(A') = 1$. El complemento no es "el otro círculo": es lo que queda del recuadro fuera de $A$, incluidos los resultados que no están en ningún círculo. ²

El dibujo

Un diagrama de Venn es una imagen de los resultados de un experimento. En general es un recuadro, que representa el espacio muestral $S$, y dentro hay círculos u óvalos. Esos círculos son los eventos. En el ejemplo del libro, el experimento tiene los resultados $1, 2, 3, \ldots, 12$, todos con la misma probabilidad. $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ y $B = \{6, 7, 8, 9\}$. Entonces $A$ Y $B = \{6\}$, y $A$ O $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Los valores $10$, $11$ y $12$ están en el recuadro y fuera de los dos óvalos: son parte de $S$ y no son parte de $A$ ni de $B$. ³

Para no copiar esa lista en un ejercicio, cambia los conjuntos y vuelve a separar tres regiones: solo $A$, solo $B$, y la franja compartida. Lo que no cae en ningún círculo sigue siendo del espacio. Si un número está en los dos círculos, va en la franja, una sola vez, no en las dos listas exclusivas. ³

Estas fichas no abren la teoría de conjuntos fuera de la probabilidad: no definen conjunto vacío con otro símbolo, ni unión de tres conjuntos, ni el álgebra de más de dos eventos. Con dos eventos alcanzan el O, el Y y el complemento. ²

Ideas clave

• Espacio. $S$ es el conjunto de todos los resultados. Un evento es una combinación de algunos de ellos. ¹
• O. El resultado entra si está en $A$, en $B$ o en los dos, y no se escribe dos veces. ²
• Y. El resultado tiene que estar en $A$ y en $B$ a la vez. ²
• Complemento. $A'$ son los resultados de $S$ que no están en $A$, y $P(A) + P(A') = 1$. ²
• Venn. Recuadro para $S$, círculo u óvalo para cada evento. Lo de afuera de los círculos sigue en el recuadro. ³

Ejemplos resueltos

Dos conjuntos del 1 al 10

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ y $B = \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Escribe $A$ O $B$, $A$ Y $B$ y $A'$.

1. $A$ O $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. El $5$, el $6$ y el $7$ van una sola vez. El $10$ no está en $A$ ni en $B$. ²
2. $A$ Y $B = \{5, 6, 7\}$.
3. $A' = \{8, 9, 10\}$, lo que está en $S$ y no está en $A$. El $8$ y el $9$ sí están en $B$, y aun así no están en $A$, así que entran en el complemento de $A$. ²

Qué región del dibujo

En el diagrama, el recuadro es $S$ y hay dos círculos, $A$ y $B$, que se cruzan. Un resultado cae en la franja compartida. ¿En qué evento está, y en cuál no está si te preguntan "solo A"?

1. La franja compartida es $A$ Y $B$: el resultado está en los dos círculos. ³
2. "Solo $A$" es la parte de $A$ que no está en $B$. No es el círculo $A$ completo, porque el círculo completo también incluye la franja. ²
3. Fuera de los dos círculos, pero dentro del recuadro, el resultado está en $S$ y en el complemento de $A$ O $B$. ³

Lista, no dibujo

Un experimento lanza una moneda imparcial una vez. Escribe $S$ y el complemento del evento "cara".

1. $S = \{H, T\}$. ¹
2. Si $A = \{H\}$, entonces $A' = \{T\}$. ²
3. No hace falta un círculo: con dos resultados, la lista ya es el espacio. El diagrama de Venn es otra de las tres formas, no la única. ¹

Errores comunes

• Anotar dos veces el elemento que está en $A$ y en $B$ cuando escribes el evento O. El libro lo deja una sola vez. ²
• Llamar complemento a la intersección. El complemento sale de $S$, no del otro evento. ²
• Dejar fuera del espacio los resultados que no cayeron en ningún círculo. El recuadro sigue siendo $S$. ³
• Confundir el círculo completo con "solo ese evento". El círculo incluye la franja compartida. ³

Cómo lo pregunta el examen

Te dan dos listas y piden la unión, la intersección o el complemento. La unión es el O, la intersección es el Y, y el complemento se lee contra $S$, no contra el otro conjunto. En el dibujo, el recuadro es el espacio y cada óvalo es un evento. Si un número está en la franja, está en los dos. Si está en el recuadro y fuera de los óvalos, está en $S$ y en ninguno de los dos eventos. Con $S$ de diez números, $A$ los siete primeros y $B$ del cinco al nueve, la intersección es $\{5, 6, 7\}$ y el complemento de $A$ es $\{8, 9, 10\}$. ^{2 3}

Resumen

• $S$ reúne todos los resultados. Un evento reúne algunos. ¹
• $A$ O $B$ junta los dos eventos sin repetir la parte común. ²
• $A$ Y $B$ es solo la parte común. ²
• $A'$ es lo de $S$ que no está en $A$. ²
• El diagrama de Venn pone $S$ en el recuadro y los eventos en círculos u óvalos. ³