Desarrollos planos del cubo y conteo de cubos

¿Cómo se cuenta la superficie si el cuerpo se abre?

Un sólido rectangular muestra tres caras a la vez. Cada una de esas tres tiene otra igual que no se ve, del lado contrario. Por eso hay seis caras, en tres pares. Cada cara es un rectángulo, y su área es el producto de sus dos lados. La superficie suma el doble de cada cara visible:

$$S = 2LH + 2LW + 2WH.$$

Esa suma es el desarrollo contado por áreas, aunque el libro no dibuje las seis caras recortadas en una sola plantilla. Frente con espalda, izquierda con derecha, arriba con abajo. ¹

Un cubo es el sólido rectangular en el que largo, ancho y alto valen lo mismo. Si esa arista es $s$, cada cara es un rectángulo de lados $s$ y $s$, y la superficie queda $S = 6s^{2}$. Son seis cuadrados de lado $s$. El volumen, por si hay que llenarlo, es $s^{3}$. Las dos cuentas usan la misma arista y no se sustituyen: una cubre y la otra llena. ²

Estas fichas no nombran qué arreglo de seis cuadrados se dobla hasta cerrar el cubo. No dicen si dos cuadrados separados por otro quedan en caras opuestas, ni qué letra de una plantilla queda enfrente de otra. El par opuesto está descrito en el sólido armado, no en una plantilla. Si el reactivo muestra una cruz y pregunta si arma el cubo, esta página no trae la regla del doblez. El corte por un plano, que es otra pregunta, está en qué deja un corte. ¹

Cubos de un centímetro

Un centímetro cúbico es un cubo de un centímetro de arista. Una pulgada cúbica es un cubo de una pulgada de arista. El libro parte un cubo de $3$ pulgadas de arista y encuentra $27$ cubitos de una pulgada: el volumen de ese cubo grande es $27$ pulgadas cúbicas. La cuenta general no se queda en el $3$. Si un sólido rectangular mide $L$ por $W$ por $H$ en centímetros enteros, y lo llenas con cubitos de $1$ cm, el número de cubitos es $L \cdot W \cdot H$. Es el volumen. ^{3 4}

Para un cubo de arista $n$ centímetros, caben $n$ cubitos en cada dirección, y el total es $n^{3}$. Si el modelo no está lleno, los que faltan son esa capacidad menos los que sí están. Estas fichas no describen un dibujo con huecos escondidos ni una torre vista de frente. Cuentan un bloque completo, o un bloque completo menos una cantidad que el enunciado ya dio por escrita. ⁴

La etiqueta, que sí se extiende

La lata tiene tres superficies: tapa, fondo y costado. Si cortas la etiqueta del costado y la extiendes, queda un rectángulo. El largo de ese rectángulo es la circunferencia de la base, y el ancho es la altura del cilindro. La circunferencia de la base es $2\pi r$, así que el área de la etiqueta es

$$2\pi r \cdot h.$$

Las dos tapas no van dentro de ese rectángulo. Cada tapa es un círculo de área $\pi r^{2}$, y las dos suman $2\pi r^{2}$. Juntas, etiqueta más tapas, dan la superficie de la lata:

$$S = 2\pi r^{2} + 2\pi r h.$$

Ese rectángulo más dos círculos es el desarrollo que la sección 9.6 sí abre. No es el desarrollo del cubo. Si el reactivo pide la etiqueta y no las tapas, te detienes en $2\pi r h$. Si pide toda la superficie, sumas los dos círculos. ⁵

Ideas clave

• Seis caras. Tres se ven y cada una tiene una igual del otro lado. $S = 2LH + 2LW + 2WH$. ¹
• Cubo. Seis caras de arista $s$: $S = 6s^{2}$. El volumen es $s^{3}$. ²
• Plantilla. Estas fichas no dicen qué arreglo de seis cuadrados se dobla, ni qué cara queda opuesta a una letra. ¹
• Cubitos. Un cubo de $1$ cm de arista llena una unidad de volumen. En una caja entera, el número de cubitos es $L \cdot W \cdot H$. ^{3 4}
• Etiqueta. Extendida es un rectángulo de largo $2\pi r$ y ancho $h$. Las tapas son dos círculos aparte. ⁵

Ejemplos resueltos

Seis caras de un cubo de cinco centímetros

Un cubo mide $5$ cm de arista. ¿Cuánta superficie tiene y cuántos cubitos de $1$ cm lo llenan?

1. Cada cara mide $5 \cdot 5 = 25$ cm². Hay seis caras: $S = 6 \cdot 25 = 150$ cm². ²
2. A lo largo de cada arista caben $5$ cubitos de $1$ cm. El total es $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. ⁴
3. La superficie es $150$ cm² y el relleno es $125$ cubitos. No son el mismo número: una cuenta caras y la otra cuenta piezas de volumen.

Bloque de cinco por dos por tres

Un bloque mide $5$ cm de largo, $2$ cm de ancho y $3$ cm de alto, y está lleno de cubitos de $1$ cm. ¿Cuántos cubitos tiene? Si solo hay $22$ cubitos y se quiere el bloque lleno, ¿cuántos faltan?

1. El bloque lleno tiene $5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$ cubitos. ⁴
2. Faltan $30 - 22 = 8$ cubitos.
3. La respuesta de "cuántos hay" es $30$ si está lleno, y $22$ si el enunciado ya dijo que hay $22$. "Cuántos faltan" es la resta, no el total.

Etiqueta de un bote

Un bote tiene radio $7$ cm y altura $12$ cm. ¿Qué área tiene solo la etiqueta, y qué área tiene la superficie completa, tapas incluidas?

1. La etiqueta es un rectángulo de largo $2\pi \cdot 7 = 14\pi$ cm y ancho $12$ cm. Su área es $14\pi \cdot 12 = 168\pi$ cm². ⁵
2. Las dos tapas suman $2 \cdot \pi \cdot 7^{2} = 98\pi$ cm².
3. La superficie completa es $168\pi + 98\pi = 266\pi$ cm². Entregar $168\pi$ cuando pidieron todo el bote deja las tapas fuera.

Errores comunes

• Sumar tres caras y llamar a eso la superficie. Cada cara visible tiene pareja, y el sólido tiene seis. ¹
• Creer que esta ficha elige la plantilla que sí arma el cubo. No trae esa regla ni la letra de la cara opuesta. ¹
• Contar los cubitos que faltan como si fueran los que están. Faltan es la capacidad menos los presentes. ⁴
• Meter las tapas dentro del rectángulo de la etiqueta. El rectángulo es solo el costado. ⁵

Cómo lo pregunta el examen

Una caja o un cubo piden la superficie: seis caras, o la fórmula $2LH + 2LW + 2WH$. Un cubo de arista $5$ cm tiene $150$ cm² de superficie y $125$ cubitos de $1$ cm. Un bloque de medidas enteras pide $L \cdot W \cdot H$ cubitos si está lleno. Si el enunciado dice cuántos hay y pregunta cuántos faltan para llenarlo, restas. La lata pide o la etiqueta, $2\pi r h$, o la superficie con tapas. Una figura de seis cuadrados en cruz, o una letra en una cara opuesta, pide un doblez que estas fichas no nombran. ^{2 5}

Resumen

• El sólido rectangular tiene seis caras, en tres pares de caras opuestas. ¹
• El cubo convierte esas caras en seis cuadrados de lado $s$, y la superficie es $6s^{2}$. ²
• Estas fichas no eligen qué plantilla de seis cuadrados se dobla en cubo. ¹
• Los cubitos de $1$ cm que llenan una caja son el producto de las tres medidas. ⁴
• La etiqueta de la lata se extiende en un rectángulo de largo $2\pi r$ y ancho $h$. Las tapas van aparte. ⁵