Cortes, vistas y simetría de cuerpos geométricos

¿Qué figura deja un plano al cruzar un sólido?

El corte de un sólido es la intersección de un plano con ese sólido. No es el volumen y no es la superficie: es la figura plana que el plano marca adentro. En la sección 2.2, un cilindro en sentido amplio se arma al trasladar una región plana a lo largo de una recta perpendicular a la región. Esa recta es el eje. Todos los cortes perpendiculares al eje son iguales. En la lata, ese corte es un círculo y el volumen es $\pi r^{2} h$. ¹

La lata de la preálgebra tiene dos círculos paralelos del mismo tamaño. La altura es la distancia entre ellos y, en los cilindros de esa sección, la altura es perpendicular a las bases. Un plano paralelo a las bases es, por eso, perpendicular a la altura. Ese plano es uno de los cortes perpendiculares al eje, y esos cortes son iguales a la base. La figura del corte es un círculo del mismo radio que la base. El cuerpo de la lata, con sus dos tapas, está en dos bases circulares. ^{2 1}

Estas fichas no dicen qué figura sale si el plano es oblicuo, ni si corta solo una tapa. El caso que sí cierran es el plano paralelo a las dos bases.

La pirámide de base cuadrada

En la pirámide de base cuadrada, el libro de cálculo también mira cortes. La base es un cuadrado, y los cortes que usa en esa derivación son cuadrados. En la vista de lado aparecen triángulos semejantes: si $a$ es el lado de la base, $h$ la altura y $x$ la distancia desde la punta hasta el corte, el lado $s$ del cuadrado del corte cumple

$$\frac{s}{a} = \frac{x}{h}.$$

El lado crece con $x$. En la punta, $x = 0$ y el corte se reduce a un punto. Junto a la base, $x$ se acerca a $h$ y el lado se acerca a $a$. El área de ese cuadrado es $s^{2}$. El libro integra esas áreas para volver a obtener $V = \tfrac{1}{3} a^{2} h$. Aquí el corte importa por su forma, no por la integral. La fórmula del volumen está en la pirámide de base cuadrada. ³

Lo que estas fichas no nombran

Un cono, en la 9.6, tiene una base circular y un vértice, y la altura de los conos de esa sección es perpendicular a la base. Eso no dice qué polígono deja un plano que pase por el vértice y por el centro de la base. Estas fichas no nombran esa figura. Tampoco nombran el corte de una esfera: la 9.6 da volumen y superficie de la esfera, no la curva que un plano le marca. ²

La sección 9.4 tampoco cuenta ejes de simetría. Dice que un rectángulo tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos, y que los lados opuestos miden lo mismo. Un lado es el largo y el contiguo es el ancho. Con eso no sale un número de ejes. Estas fichas no nombran cuántos ejes tiene el rectángulo ni cuántos tiene el cuadrado. ⁴

Tampoco se abrió una página con una flecha de vista frontal ni con columnas de cubos de alturas distintas. Si el reactivo muestra un cuerpo en perspectiva y pide la vista de frente, estas fichas no traen esa lectura. Lo que sí se puede calcular sin la figura es el corte por tres vértices de un cubo, porque ese corte es un triángulo rectángulo en cada cara.

El corte por tres vértices de un cubo

Un cubo es un sólido rectangular con largo, ancho y alto iguales a una arista $s$. Cada cara es un rectángulo de lados $s$ y $s$, con cuatro ángulos rectos. Los tres vértices vecinos de una esquina, uno por cada arista que sale de esa esquina, determinan un plano. En cada cara, el segmento que une dos de esos vértices es la diagonal del rectángulo de la cara. ^{7 4}

Esa diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90^{\circ}$. El lado de enfrente de ese ángulo es la hipotenusa, y los otros dos lados son los catetos. En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa. Si los catetos miden $a$ y $b$ y la hipotenusa mide $c$,

$$a^{2} + b^{2} = c^{2}.$$

En la cara del cubo los dos catetos miden $s$. ⁶

Los tres segmentos del corte miden lo mismo, porque las tres caras que se juntan en la esquina son iguales. Un triángulo con los tres lados iguales es equilátero. Uno con solo dos lados iguales es isósceles. El corte de la esquina es equilátero, no solo isósceles. El perímetro es tres veces esa diagonal. ⁵

Ideas clave

• Corte. Es la intersección de un plano con el sólido. En un cilindro de sección constante, los cortes perpendiculares al eje coinciden. ¹
• Lata, plano paralelo a las bases. La altura es perpendicular a las bases, así que ese plano corta un círculo del mismo radio. ^{2 1}
• Pirámide de base cuadrada. Esos cortes son cuadrados, y $\tfrac{s}{a} = \tfrac{x}{h}$. ³
• Huecos. Estas fichas no nombran el corte del cono por el vértice, los ejes del rectángulo ni una vista frontal. ⁴
• Esquina del cubo. La diagonal de la cara sale de $s^{2} + s^{2} = c^{2}$. Los tres lados iguales hacen un triángulo equilátero. ^{6 5}

Ejemplos resueltos

Lata cortada en paralelo

Una lata tiene radio $5$ cm. Un plano paralelo a las dos tapas la cruza a media altura. ¿Qué figura queda en el corte, y qué radio tiene?

1. Las tapas son círculos y la altura es perpendicular a ellas. Un plano paralelo a las tapas es perpendicular a la altura. ²
2. Los cortes perpendiculares al eje de este cilindro son iguales a la base, y la base es un círculo. ¹
3. El corte es un círculo de radio $5$ cm. No depende de que el plano vaya a media altura: mientras siga paralelo a las tapas y dentro de la lata, el radio no cambia.

Rebanada de una pirámide

Una pirámide de base cuadrada tiene lado $a = 10$ cm y altura $h = 8$ cm. ¿Cuánto mide el lado del corte cuadrado que está a $4$ cm de la punta, medidos a lo largo de la altura?

1. Los cortes de esta derivación son cuadrados, y $\tfrac{s}{10} = \tfrac{4}{8}$. ³
2. $s = 10 \cdot \tfrac{4}{8} = 5$ cm.
3. El corte es un cuadrado de $5$ cm de lado. Su área es $25$ cm². Esa área no es el volumen de la pirámide.

Esquina de un cubo de seis centímetros

Un cubo tiene arista $6$ cm. Un plano pasa por los tres vértices vecinos de una esquina. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo del corte?

1. En cada cara, los catetos de la diagonal miden $6$ cm. $6^{2} + 6^{2} = 36 + 36 = 72$, así que la diagonal mide $\sqrt{72}$ cm. ⁶
2. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ cm. Las tres caras dan la misma diagonal. ⁷
3. Tres lados iguales: el triángulo es equilátero. El perímetro es $3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$ cm. ⁵

Errores comunes

• Decir que cualquier plano sobre la lata deja un círculo. El círculo de esta ficha es el del plano paralelo a las bases. ¹
• Leer $\tfrac{s}{a} = \tfrac{x}{h}$ al revés y poner el lado de la base donde va el lado del corte. $x$ se mide desde la punta. ³
• Afirmar que el corte por el vértice del cono es un triángulo isósceles. Estas fichas no lo nombran. ²
• Contar ejes de simetría del rectángulo con un número que la 9.4 no da. ⁴

Cómo lo pregunta el examen

Si el sólido es un cilindro recto y el plano es paralelo a las bases, la figura es un círculo del mismo radio que la base. Si es una pirámide de base cuadrada y el corte es de los que usa el libro, la figura es un cuadrado cuyo lado guarda $\tfrac{s}{a} = \tfrac{x}{h}$. Si el cubo se corta por los tres vértices vecinos de una esquina, cada lado del triángulo es la diagonal de una cara y el perímetro son tres diagonales. Una arista de $6$ cm deja $18\sqrt{2}$ cm. Un reactivo que pida ejes del rectángulo, la vista de frente de una torre de cubos, o el corte del cono por el vértice, pide algo que estas páginas no abren. ^{2 6}

Resumen

• El corte es la intersección de un plano con el sólido. ¹
• En la lata, un plano paralelo a las bases deja un círculo del mismo radio. ²
• En la pirámide de base cuadrada, esos cortes son cuadrados y el lado crece desde la punta. ³
• El triángulo de la esquina del cubo es equilátero: cada lado es la diagonal de una cara. ^{6 5}
• Estas fichas no nombran ejes del rectángulo, la vista frontal ni el corte del cono por el vértice. ⁴