Volumen de prismas y cilindros

¿Cómo sale el volumen si la sección no cambia?

Un sólido rectangular tiene tres medidas: largo $L$, ancho $W$ y alto $H$. Su volumen es el producto de las tres. La misma idea se escribe con la base: si $B$ es el área de la cara de abajo, $B = L \cdot W$, y el volumen es esa base por la altura. Las dos escrituras cuentan los mismos cubos unitarios, capa por capa. ¹

Cada cara de ese sólido es un rectángulo, así que el área de una cara es el producto de sus dos lados: largo con ancho, largo con alto, o ancho con alto. De las seis caras, tres se ven y las otras tres son las de enfrente, iguales a las que ves. Por eso la superficie no suma tres caras: duplica cada una.

$$S = 2LH + 2LW + 2WH.$$

Son seis caras en total. Volumen y superficie no salen en la misma unidad: uno llena el cuerpo y la otra cubre el borde exterior. ¹

Cuando la sección es siempre la misma

En cálculo, ese cuerpo general se arma empujando una figura plana sobre una recta que le cae en perpendicular. Mientras la figura no se deforma, el volumen es su área por la distancia recorrida: $V = A \cdot h$. La lata de sopa es el caso en que la figura empujada es un círculo. ⁵

La preálgebra describe esa lata con más detalle. Un cilindro, en esa sección, tiene dos círculos paralelos del mismo tamaño, uno arriba y otro abajo. Esos círculos son las bases. La altura $h$ es la distancia entre ellas. En los cilindros de esa sección, los lados y la altura quedan perpendiculares a las bases. El área de la base es el área del círculo, $\pi r^{2}$, y el volumen queda

$$V = \pi r^{2} h.$$

Es el mismo $V = B \cdot h$ del sólido rectangular, con otra forma de $B$. Si hace falta un decimal, el libro aproxima $\pi$ con $3{,}14$. Si el reactivo deja $\pi$ escrito, no hace falta ese reemplazo. ²

La superficie de la lata tiene tres piezas: la tapa, el fondo y el costado. El libro arma el costado al pensar en la etiqueta, pero la cuenta de esa etiqueta queda en la ficha del desarrollo. Aquí basta la fórmula que cierra las tres piezas:

$$S = 2\pi r^{2} + 2\pi r h.$$

Los dos primeros términos son las bases. El último es el costado. Esta ficha no calcula la superficie de un cono: la sección 9.6 dice que del cono solo saca el volumen. ²

Cubo y sección triangular

Un cubo es un sólido rectangular cuyo largo, ancho y alto son iguales. Si esa medida común es $s$, el volumen y la superficie se simplifican al sustituir $s$ en las fórmulas de arriba:

$$V = s^{3}, \qquad S = 6s^{2}.$$

Sustituir no es una fórmula nueva: es el mismo producto, tres veces la misma arista, y seis caras cuadradas. ³

Si la sección que se desliza es un triángulo, el volumen sigue siendo área de la sección por la longitud del cuerpo. El área de ese triángulo no se inventa aquí: es la mitad de su base por su altura, ya trabajada en la ficha de áreas. La altura del triángulo es perpendicular a su base. No uses un lado inclinado en lugar de esa perpendicular. ^{4 5}

La sección 9.6 no pone el nombre "prisma". El nombre útil en el examen es el de la sección que se repite: rectangular, circular o triangular. La cuenta es la de la sección 2.2 cuando el corte no cambia, o la de la 9.6 cuando el cuerpo es la caja o la lata. ⁵

Ideas clave

• Caja. $V = L \cdot W \cdot H$, que es lo mismo que el área de la base por la altura. ¹
• Superficie de la caja. Seis caras rectangulares, en tres pares de caras opuestas: $S = 2LH + 2LW + 2WH$. ¹
• Lata. Dos círculos iguales y paralelos. $V = \pi r^{2} h$, con la altura perpendicular a las bases. ²
• Cubo. Las tres aristas coinciden: $V = s^{3}$ y $S = 6s^{2}$. ³
• Sección fija. Si el corte perpendicular al eje no cambia, $V = A \cdot h$. El triángulo usa la mitad de base por altura como $A$. ^{5 4}

Ejemplos resueltos

Caja de herramientas

Una caja mide $5$ cm de largo, $7$ cm de ancho y $3$ cm de alto. ¿Qué volumen tiene y cuánta cartulina cubre el exterior, sin contar pestañas?

1. El volumen es el producto de las tres medidas: $V = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105$ cm³. ¹
2. Las tres caras distintas miden $5 \cdot 3 = 15$, $5 \cdot 7 = 35$ y $7 \cdot 3 = 21$ cm². Cada una tiene su pareja opuesta.
3. $S = 2 \cdot 15 + 2 \cdot 35 + 2 \cdot 21 = 30 + 70 + 42 = 142$ cm².
4. La caja ocupa $105$ cm³ y su exterior mide $142$ cm². Multiplicar $5 \cdot 7$ y llamar a eso volumen deja fuera la altura.

Tubo de cartón

Un tubo tiene radio $4$ cm y altura $10$ cm. El radio es perpendicular a las tapas. ¿Qué volumen encierra? Si piden un decimal, usa $3{,}14$ para $\pi$.

1. La base es un círculo: $B = \pi \cdot 4^{2} = 16\pi$ cm². ²
2. El volumen es esa base por la altura: $V = 16\pi \cdot 10 = 160\pi$ cm³.
3. Con la aproximación del libro: $160 \cdot 3{,}14 = 502{,}4$ cm³.
4. Si el dato hubiera sido un diámetro de $4$ cm, el radio sería $2$ cm y el volumen bajaría a $40\pi$ cm³. Aquí el enunciado ya dijo radio.

Barra de sección triangular

Una barra mide $5$ cm de largo. Su corte, perpendicular a ese largo, es un triángulo de base $6$ cm y altura $4$ cm. ¿Qué volumen tiene la barra?

1. El área del triángulo es la mitad de base por altura: $A = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ cm². ⁴
2. Ese corte se repite a lo largo de la barra, así que $V = A \cdot h = 12 \cdot 5 = 60$ cm³. ⁵
3. La barra ocupa $60$ cm³. Usar $6 \cdot 4 \cdot 5$ sin la mitad cuenta un corte rectangular que la barra no tiene.

Errores comunes

• Elevar el diámetro al cuadrado. En $\pi r^{2}$ la letra $r$ es el radio, la mitad del diámetro. ²
• Llamar volumen a $L \cdot W$. Eso es el área de una cara. Falta multiplicar por la tercera medida. ¹
• Sumar las tres caras visibles y dar eso como superficie. Cada cara visible tiene otra igual del otro lado, y son seis. ¹
• Tomar un lado inclinado del triángulo como si fuera la altura de la sección. La altura del área es la perpendicular a la base. ⁴

Cómo lo pregunta el examen

Una caja trae tres longitudes y pide el volumen, o pide la cartulina del exterior. Identifica cuál medida es la altura antes de armar $2LH + 2LW + 2WH$. Un tubo o un tanque circular pide $\pi r^{2} h$: si dan el diámetro, saca el radio primero, y si dejan $\pi$, no lo cambies por $3{,}14$. Una pieza de sección triangular pide el área de ese triángulo y después el producto por el largo. No mezcles la superficie con el volumen: una se mide en unidades cuadradas y el otro en cúbicas. ^{1 2}

Resumen

• La caja multiplica largo, ancho y alto. Eso es el área de la base por la altura. ¹
• Su superficie duplica cada cara visible: $S = 2LH + 2LW + 2WH$. ¹
• El cilindro de esta ficha tiene dos círculos iguales y $V = \pi r^{2} h$. ²
• El cubo repite la arista: volumen $s^{3}$ y superficie $6s^{2}$. ³
• Si el corte perpendicular al eje no cambia, el volumen es el área de ese corte por la altura. ⁵