Volumen de pirámides, conos y esferas

¿Por qué la pirámide y el cono llevan un tercio?

El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura:

$$V = \frac{1}{3} A h.$$

Si la base es un cuadrado de lado $a$, el área de esa base es $a^{2}$ y la fórmula queda $V = \tfrac{1}{3} a^{2} h$. El libro de cálculo dice que esa relación ya se conoce en geometría, y después la vuelve a obtener con rebanadas. Esas rebanadas, en la pirámide de base cuadrada, también son cuadrados. Unos triángulos semejantes de la vista lateral relacionan el lado de la rebanada con la altura. La integral de esas áreas, de la punta a la base, devuelve otra vez el tercio. Para el examen te quedas con $V = \tfrac{1}{3} A h$. No reconstruyes la integral en la hoja. ¹

El prisma que tiene la misma base y la misma altura está en el cilindro de sección fija. La pirámide no llena ese prisma: se queda con la tercera parte. Si olvidas el tercio, el número que sale es el del prisma, tres veces más grande. ¹

El cono es el tercio con base circular

En la sección 9.6, un cono es un sólido con una base circular y un vértice. La altura es la distancia de la base al vértice. Los conos de esa sección tienen la altura perpendicular a la base. El libro lo presenta como una parte del cilindro que tiene la misma base y la misma altura, y afirma que su volumen es exactamente un tercio del volumen de ese cilindro. Como la base es un círculo, $B = \pi r^{2}$, y

$$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h.$$

Esa sección avisa que solo va a calcular el volumen del cono, no su superficie. Si un reactivo pide la cartulina del cono, estas fichas no traen esa fórmula. El tercio no se negocia: quitarlo convierte el cono en el cilindro de la ficha anterior. Si el dato es el diámetro, el radio es la mitad antes de elevar al cuadrado. Con un decimal, $\pi$ se aproxima con $3{,}14$. ²

La esfera depende solo del radio

La esfera no tiene una base ni una altura aparte: entra el radio $r$. El libro da el volumen y la superficie, y dice que justificar de dónde salen, como sí hizo con el sólido rectangular, queda fuera de ese curso. Las fórmulas que usa en los ejemplos son

$$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}, \qquad S = 4 \pi r^{2}.$$

El volumen lleva el radio al cubo. La superficie lleva el radio al cuadrado y un $4$, no un $4/3$. Confundirlas cambia la unidad y el número. El libro aproxima otra vez con $3{,}14$ cuando quiere un decimal. Estas fichas no derriten una esfera de radio $6$ ni una de radio $3$: los ejemplos de abajo usan otro radio. ^{3 4}

Si una esfera se funde en conos, comparas volúmenes. Divides el volumen de la esfera entre el volumen de un cono. El $\pi$ se cancela si los dos lo traen. El cociente es la cantidad de conos, y solo es entero si los radios y las alturas que elegiste cierran la cuenta. La superficie de la esfera no entra en esa división: fundir reparte volumen, no área. ^{3 2}

Ideas clave

• Pirámide. $V = \tfrac{1}{3} A h$. Con base cuadrada de lado $a$, $A = a^{2}$. ¹
• De dónde sale el tercio. El cálculo lo recupera al integrar rebanadas cuadradas. En la hoja usas la fórmula, no la integral. ¹
• Cono. Una base circular y un vértice, altura perpendicular a la base. $V = \tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$, un tercio del cilindro compañero. ²
• Sin superficie del cono. La sección 9.6 no la calcula. ²
• Esfera. $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ y $S = 4\pi r^{2}$. El libro no deriva esas dos fórmulas en el curso. ^{3 4}

Ejemplos resueltos

Pirámide de base cuadrada

La base es un cuadrado de $6$ cm de lado y la altura, perpendicular a esa base, mide $9$ cm. ¿Qué volumen tiene?

1. El área de la base es $A = 6^{2} = 36$ cm². ¹
2. $V = \tfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ cm³.
3. Sin el tercio habrías escrito $324$ cm³, que es el prisma de esa base y esa altura, no la pirámide.

Cono de helado

Un cono tiene radio $4$ cm y altura $9$ cm, perpendicular a la base. ¿Qué volumen tiene? Deja $\pi$ y, aparte, el valor con $3{,}14$.

1. $V = \tfrac{1}{3} \pi \cdot 4^{2} \cdot 9 = \tfrac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 9 = 48\pi$ cm³. ²
2. Con la aproximación del libro: $48 \cdot 3{,}14 = 150{,}72$ cm³.
3. El cilindro de radio $4$ y altura $9$ mediría $144\pi$ cm³. El cono es la tercera parte, $48\pi$ cm³. Pedir la superficie de este cono no se resuelve con la 9.6.

Esfera de radio cinco

Una esfera tiene radio $5$ cm. ¿Qué volumen y qué superficie tiene, con $\pi$ sin aproximar?

1. $V = \tfrac{4}{3} \pi \cdot 5^{3} = \tfrac{4}{3} \pi \cdot 125 = \tfrac{500\pi}{3}$ cm³. ³
2. $S = 4 \pi \cdot 5^{2} = 4 \pi \cdot 25 = 100\pi$ cm². ⁴
3. Son cantidades distintas. $100\pi$ no es el volumen, y $\tfrac{500\pi}{3}$ no es la superficie.

Errores comunes

• Quitar el $\tfrac{1}{3}$ de la pirámide o del cono. El número que queda es el del prisma o el del cilindro de la misma base y la misma altura. ^{1 2}
• Pedirle superficie al cono con una fórmula que la 9.6 no da. Esa sección se detiene en el volumen. ²
• Usar $4\pi r^{2}$ cuando piden el volumen de la esfera, o $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ cuando piden la cáscara. Una lleva $r^{2}$ y la otra $r^{3}$. ⁴
• Meter el diámetro en el lugar del radio. En el cono y en la esfera la letra de la fórmula es el radio. ²

Cómo lo pregunta el examen

La pirámide da el lado de la base cuadrada, o directo el área de la base, y una altura. Si dan el lado, lo elevas al cuadrado antes del tercio. El cono da radio y altura, o diámetro y altura: el volumen es un tercio de $\pi r^{2} h$. La esfera da un radio y pregunta volumen, superficie, o las dos. Si una esfera se reparte en conos, divides volúmenes y el resultado es un número de conos, no un área. Un dato de radio $5$ cm deja $\tfrac{500\pi}{3}$ de volumen. No cambies el tercio por un medio. ^{1 3}

Resumen

• La pirámide mide un tercio del área de la base por la altura. ¹
• Con base cuadrada, esa área es el lado al cuadrado. ¹
• El cono es un tercio del cilindro de la misma base circular y la misma altura. ²
• La sección 9.6 no da la superficie del cono. ²
• La esfera mide $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ de volumen y $4\pi r^{2}$ de superficie. ^{3 4}