Presión atmosférica e hidrostática

¿Por qué duele más el fondo de la alberca en los oídos?

En una alberca de la ciudad el agua se siente ligera en el borde y pesa en los oídos cuando te agachas al fondo. No es que el agua de abajo sea otra: es que esa capa sostiene todo el agua que tiene encima. Un fluido, líquido o gas, cede si lo empujas de lado. Por eso las paredes verticales de un vaso no cargan el peso del agua: lo carga el fondo. ¹

La presión es la fuerza perpendicular partida por el área, $p = F/A$. Su unidad en el SI es el pascal: $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$. La fuerza es vector; la presión, no. La misma fuerza en un área chica da más presión. Por eso una aguja entra en la piel y el dedo, con la misma fuerza, no. ¹

La columna de líquido

Si la densidad ρ no cambia, el peso del líquido de altura h y área A es $ρAhg$. Al dividir entre A, el área se va. Queda la presión absoluta a esa profundidad: ¹

$$p = p_0 + ρgh$$

p_0 es la presión sobre la superficie libre, casi siempre la atmosférica. El término $ρgh$ es lo que aporta el líquido. En el examen, cuando piden la presión debida solo al agua, ese término es la respuesta: no le sumes la atmósfera. Si piden la absoluta, sí.

Esa cuenta no mira el ancho. En vasos comunicados el líquido sube a la misma altura en cada brazo, aunque uno sea más delgado: si en el fondo las presiones no empataran, el líquido se movería hasta empatarlas. ¹

La atmósfera no se porta igual que el agua de la alberca. El aire se comprime, su densidad baja con la altura y $p = p_0 + ρgh$ con ρ fija deja de servir para una columna muy alta. Aun así la idea se mantiene: la presión atmosférica es el peso del aire que queda arriba. En la cima hay menos aire encima, así que la presión es menor que junto al mar. El promedio al nivel del mar que usa el libro es $1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$, o sea $1\ \mathrm{atm} = 1013\ \mathrm{mb}$. ^{1 2}

Manómetro y barómetro

Un manómetro de llanta se calibra en cero cuando afuera y adentro hay la misma atmósfera. Lo que marca es la presión manométrica, la diferencia con la atmosférica. La absoluta es la suma: ²

$$p_{\mathrm{abs}} = p_{\mathrm{g}} + p_{\mathrm{atm}}$$

En un tubo en U con un lado abierto, esa diferencia también es $hρg$, con ρ la densidad del líquido del tubo. Si el lado conectado empuja más que el aire, sostiene una columna; si empuja menos, la columna queda del otro lado y la manométrica es negativa. La absoluta de un fluido no baja de cero: un fluido empuja, no jala. ²

El barómetro de Torricelli, de 1643, es un tubo cerrado, lleno de mercurio e invertido en una cubeta del mismo metal. Arriba queda un vacío casi puro. La atmósfera sostiene la columna y $hρg = p_{\mathrm{atm}}$. Con mercurio a $0\ ^\circ\mathrm{C}$, $760\ \mathrm{mm}$ de columna equivalen a $1\ \mathrm{atm} = 1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$. Un torr es $1\ \mathrm{mm}$ de mercurio. La densidad del mercurio en la tabla del libro, a $0{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$, es $1{,}36 \times 10^{4}\ \mathrm{kg/m^3}$. ^{1 2}

Ideas clave

• Presión. $p = F/A$, con F perpendicular al área. $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$. ¹
• Profundidad. En un líquido de densidad constante, $p = p_0 + ρgh$. El aporte del líquido es $ρgh$. No depende del ancho ni de la forma. ¹
• Manométrica y absoluta. El manómetro marca la diferencia con la atmósfera. $p_{\mathrm{abs}} = p_{\mathrm{g}} + p_{\mathrm{atm}}$. ²
• Barómetro. La columna de mercurio cumple $p_{\mathrm{atm}} = ρgh$. $760\ \mathrm{mm}$ de Hg equivalen a $1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$. ²
• Aire. La presión atmosférica es el peso de la columna de aire. Subir deja menos aire encima y la presión baja. Al nivel del mar el promedio del libro es $1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$. ^{1 2}

Ejemplos resueltos

Presión a 3,00 m en agua

Un tanque abierto tiene agua, $ρ = 1{,}00 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$, hasta $3{,}00\ \mathrm{m}$. Toma $g = 9{,}80\ \mathrm{m/s^2}$ y $p_0 = 1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$.

1. El aporte del agua es $ρgh = (1{,}00 \times 10^{3})(9{,}80)(3{,}00) = 2{,}94 \times 10^{4}\ \mathrm{Pa}$.
2. La absoluta suma la atmósfera: $1{,}013 \times 10^{5} + 2{,}94 \times 10^{4} = 1{,}307 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$.
3. Si el tanque fuera el doble de ancho y el agua siguiera a $3{,}00\ \mathrm{m}$, el aporte del líquido no cambia: A se canceló al armar $ρgh$.

Columna de mercurio de 720 mm

Un barómetro marca $0{,}720\ \mathrm{m}$ de mercurio. Usa $ρ = 1{,}36 \times 10^{4}\ \mathrm{kg/m^3}$ y $g = 9{,}80\ \mathrm{m/s^2}$.

1. Pasa la altura a metros antes de multiplicar. $720\ \mathrm{mm} = 0{,}720\ \mathrm{m}$.
2. $p = ρgh = (1{,}36 \times 10^{4})(9{,}80)(0{,}720) = 9{,}60 \times 10^{4}\ \mathrm{Pa}$.
3. Es menor que $1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$, la atmósfera media al nivel del mar. Una columna más corta significa menos presión afuera, como en una ciudad alta.

Hasta dónde el aire sostiene agua

Con $p_{\mathrm{atm}} = 1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$, $ρ = 1{,}00 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ y $g = 9{,}80\ \mathrm{m/s^2}$, la altura de agua cuya columna pesa eso por unidad de área es

$$h = \frac{p}{ρg} = \frac{1{,}013 \times 10^{5}}{(1{,}00 \times 10^{3})(9{,}80)} = 10{,}3\ \mathrm{m}.$$

Esa es la columna de agua que la atmósfera puede sostener en un tubo cerrado arriba, el mismo papel que los $760\ \mathrm{mm}$ de mercurio. El mercurio pide menos altura porque es mucho más denso.

Errores comunes

• Si el enunciado dice "solo el agua" o "sin contar la atmósfera" y tú sumas $1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$, te pasas. $ρgh$ ya es esa parte.
• Si conviertes $580\ \mathrm{mm}$ como si fueran metros, o dejas los milímetros dentro de $ρgh$, el resultado sale mil veces grande o mil veces chico. La altura va en metros cuando ρ está en $\mathrm{kg/m^3}$ y quieres pascales.
• Si comparas dos tanques por "cuál tiene más agua", estás mirando el volumen. La presión del fondo mira densidad y profundidad.
• En la cima la gravedad no vale cero. Lo que cambia es que queda menos aire encima, y esa columna pesa menos.

Cómo lo pregunta el examen

Te da profundidad, densidad y a veces g, y pide la presión del líquido. Otras veces compara recipientes de distinta forma con la misma altura de agua: la presión del fondo empata. También junta manométrica y atmosférica, o te da la altura de una columna de mercurio para que armes $ρgh$. Cuando pregunta por la cima, la pista es la columna de aire, no la temperatura ni un viento. En un sifón lento, la altura máxima sobre la superficie libre es la columna que esa atmósfera puede sostener, $h = p/(ρg)$.

Resumen

• $p = F/A$ y $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$.
• En un líquido quieto de densidad fija, $p = p_0 + ρgh$.
• El ancho y la forma no cambian la presión a una profundidad dada.
• La absoluta es manométrica más atmosférica.
• El barómetro cumple $p_{\mathrm{atm}} = ρgh$; $760\ \mathrm{mm}$ de Hg son $1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$.