Principio de Pascal y prensa hidráulica

¿Cómo un gato de taller levanta un coche con la mano?

En un taller el gato hidráulico sube el coche con una fuerza que la mano no podría hacer sola. Adentro hay un líquido encerrado, no aire suelto. Blaise Pascal publicó en 1653 que un cambio de presión en un fluido encerrado se transmite sin disminuir a todo el fluido y a las paredes del recipiente. No dice que la presión sea la misma en todos los puntos: cerca de la Tierra la presión todavía cambia con la altura, como en la presión de un líquido quieto. Lo que se reparte por igual es el cambio. ¹

La presión sigue siendo la fuerza perpendicular entre el área. Si un pistón de área A recibe un peso extra $Mg$, la presión de arriba sube $Mg/A$. Esa misma cantidad se suma abajo y en cualquier otro punto. ^{2 1}

La prensa

Dos cilindros con pistones, llenos de líquido y unidos por un tubo, forman el sistema. Una fuerza $F_1$ hacia abajo en el área $A_1$ crea una presión $F_1/A_1$. Si los pistones están a la misma altura, no hay un extra por profundidad, y la fricción se desprecia. Esa presión llega al otro pistón: ¹

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

Para agrandar la fuerza, esa presión se aplica sobre un área mayor. Si $A_2$ es cinco veces $A_1$, la fuerza de salida es cinco veces la de entrada. El gato es el mismo arreglo: un tubo en U con líquido incompresible, un lado angosto y otro ancho. La fuerza en el lado chico que equilibra el peso $F_2$ del coche es ¹

$$F_1 = \frac{A_1}{A_2} F_2.$$

El área de un círculo va con el cuadrado del diámetro, así que la razón de áreas es la razón de diámetros al cuadrado. No hace falta convertir a metros si las dos áreas, o los dos diámetros, usan la misma unidad.

Una prensa aumenta la fuerza y no el trabajo. El trabajo es fuerza por distancia, y el pistón grande se mueve menos que el chico. El libro lo dice con los frenos: cada cilindro de rueda recibe la misma presión, pero el sistema no entrega más trabajo del que recibió. ¹

El líquido del gato se toma incompresible. El cambio de presión que Pascal reparte es el de un fluido que no se deja comprimir como un gas. La fórmula de arriba pide, además, la misma altura y fricción despreciable. ¹

Ideas clave

• Principio de Pascal. Un cambio de presión en un fluido encerrado se transmite sin disminuir a todo el fluido y a las paredes. ¹
• No es la presión total. La presión sigue dependiendo de la profundidad. Lo que se iguala es el cambio. ¹
• Prensa. Con los pistones a la misma altura y sin fricción, $F_1/A_1 = F_2/A_2$. ¹
• Diámetros. La razón de áreas de dos círculos es la razón de diámetros al cuadrado. ¹
• Trabajo. La fuerza de salida puede ser mayor. El pistón grande avanza menos y el trabajo no aumenta. ¹

Ejemplos resueltos

Áreas de 4,00 cm² y 64,0 cm²

El émbolo chico mide $4{,}00\ \mathrm{cm^2}$ y el grande $64{,}0\ \mathrm{cm^2}$. Empujas el chico con $180\ \mathrm{N}$. Los dos están a la misma altura.

1. La razón de áreas es $64{,}0 / 4{,}00 = 16{,}0$. No hace falta pasar a metros.
2. $F_2 = F_1 \times (A_2/A_1) = 180 \times 16{,}0 = 2{,}88 \times 10^{3}\ \mathrm{N}$.
3. La presión es la misma en los dos: $180\ \mathrm{N} / 4{,}00\ \mathrm{cm^2} = 45{,}0\ \mathrm{N/cm^2}$, y $2{,}88 \times 10^{3} / 64{,}0$ da lo mismo.

Diámetros de 1,50 cm y 6,00 cm

El émbolo chico tiene $1{,}50\ \mathrm{cm}$ de diámetro y el grande $6{,}00\ \mathrm{cm}$. Quieres sostener $6{,}40 \times 10^{3}\ \mathrm{N}$ en el grande.

1. La razón de diámetros es $6{,}00 / 1{,}50 = 4{,}00$. La de áreas es $4{,}00^2 = 16{,}0$.
2. $F_1 = F_2 \times (A_1/A_2) = (6{,}40 \times 10^{3}) / 16{,}0 = 400\ \mathrm{N}$.
3. Si hubieras usado la razón de diámetros sin elevar al cuadrado, saldrían $1{,}60 \times 10^{3}\ \mathrm{N}$, cuatro veces de más.

Errores comunes

• Si tomas el enunciado "la presión se transmite igual" como si la presión total no cambiara con la profundidad, mezclas el cambio con el valor. Pascal habla del cambio.
• Si divides la fuerza entre el área mayor para hallar la fuerza del émbolo chico, inviertes la prensa. El área chica pide menos fuerza para la misma presión.
• Si comparas diámetros y olvidas el cuadrado, la razón de áreas queda corta. El área va con $d^2$.
• Si conviertes un área a $\mathrm{m^2}$ y dejas la otra en $\mathrm{cm^2}$, la razón se vuelve absurda. Las dos unidades tienen que ser la misma, o las dos tienen que estar en el SI.

Cómo lo pregunta el examen

A veces te piden el enunciado: un cambio de presión en un fluido encerrado llega con la misma intensidad a todos sus puntos. No es el empuje, ni la baja de presión cuando el fluido acelera, ni la subida de presión con la profundidad. En problemas te dan dos áreas, o dos diámetros, y una fuerza. Escribes $F_1/A_1 = F_2/A_2$ y, si hay diámetros, elevas la razón al cuadrado antes de despejar.

Resumen

• El cambio de presión en un fluido encerrado se transmite sin disminuir.
• La presión total sí puede cambiar con la profundidad.
• $F_1/A_1 = F_2/A_2$ cuando los pistones están a la misma altura y la fricción no cuenta.
• La razón de áreas circulares es la razón de diámetros al cuadrado.
• La prensa aumenta la fuerza; el émbolo grande recorre menos camino.