Principio de Arquímedes y flotación

¿Por qué una piedra pesa menos bajo el agua?

Si cargas una piedra en la orilla y luego la metes a un lago, el brazo la siente más liviana, aunque la piedra no haya perdido masa. Abajo hay más presión que arriba, porque en un líquido quieto la presión crece con la profundidad, como en esa presión hidrostática. La fuerza de abajo, hacia arriba, gana a la de arriba, hacia abajo. Los empujes de los lados se cancelan. Esa fuerza neta hacia arriba es el empuje, y actúa sobre cualquier cuerpo parcial o totalmente metido en cualquier fluido, aire incluido. ^{1 2}

Si el empuje supera al peso, el cuerpo sube y flota. Si es menor, se hunde. Si empatan, puede quedarse a esa profundidad. El empuje no desaparece en ninguno de los tres casos. ¹

El peso del fluido que se fue

Arquímedes, hacia 287-212 a. C., lo dejó así: el empuje iguala el peso del fluido que el cuerpo desaloja. Si quitas el cuerpo, ese hueco lo ocuparía fluido, y el fluido de alrededor ya estaba sosteniendo ese peso. En símbolos, $F_B = w_{\mathrm{fl}}$. Con densidad constante, el peso desalojado es $ρ_{\mathrm{fl}} g V_{\mathrm{sum}}$, así que ¹

$$F_B = ρ_{\mathrm{fl}} g V_{\mathrm{sum}}.$$

$V_{\mathrm{sum}}$ es el volumen de cuerpo que está dentro del fluido, no siempre el volumen entero.

La densidad media decide el resultado. Si es menor que la del fluido, el empuje de un volumen igual al del cuerpo ya supera al peso, y el cuerpo flota. Si es mayor, se hunde. Un mismo trozo de barro se hunde; moldeado como lancha desaloja más agua y puede flotar. Por eso flota un barco de acero. El aceite flota sobre el agua por la misma comparación de densidades. ¹

Cuando flota, el peso y el empuje empatan, así que la masa del cuerpo iguala la masa de fluido desalojado. De ahí la fracción sumergida: ¹

$$\frac{V_{\mathrm{sum}}}{V} = \frac{ρ_{\mathrm{cuerpo}}}{ρ_{\mathrm{fl}}}.$$

Esa igualdad es para quien flota. Si el cuerpo se hunde, queda sumergido por completo y el empuje, aunque existe, es menor que el peso.

Bajo el agua la báscula marca menos. Esa baja es el peso aparente. La pérdida iguala el peso del fluido desalojado, o sea el empuje. Peso aparente = peso real − empuje. ¹

Ideas clave

• Empuje. Es la fuerza neta hacia arriba sobre un cuerpo en un fluido. Nace porque la presión de abajo es mayor. ^{1 2}
• Arquímedes. $F_B$ iguala el peso del fluido desalojado: $F_B = ρ_{\mathrm{fl}} g V_{\mathrm{sum}}$. ¹
• Flotar o hundirse. Flota si su densidad media es menor que la del fluido. Se hunde si es mayor. Si empatan, puede quedar suspendido. ¹
• Fracción sumergida. Al flotar, $V_{\mathrm{sum}}/V = ρ_{\mathrm{cuerpo}}/ρ_{\mathrm{fl}}$. ¹
• Peso aparente. Es el peso real menos el empuje. La diferencia entre las dos pesadas es $F_B$. ¹

Ejemplos resueltos

Un bloque que flota con el 40 % adentro

Un bloque de $0{,}0500\ \mathrm{m^3}$ flota en agua, $ρ = 1{,}00 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$, con el $40\ \%$ de su volumen sumergido. Usa $g = 9{,}80\ \mathrm{m/s^2}$.

1. El volumen sumergido es $0{,}40 \times 0{,}0500 = 0{,}0200\ \mathrm{m^3}$.
2. El empuje es $ρ g V_{\mathrm{sum}} = (1{,}00 \times 10^{3})(9{,}80)(0{,}0200) = 196\ \mathrm{N}$.
3. Como flota, el peso también es $196\ \mathrm{N}$. La densidad del bloque es $0{,}40 \times 1{,}00 \times 10^{3} = 400\ \mathrm{kg/m^3}$.
4. Comprueba la masa: $400 \times 0{,}0500 = 20{,}0\ \mathrm{kg}$, y $20{,}0 \times 9{,}80 = 196\ \mathrm{N}$.

Piedra de 45,0 N que marca 27,0 N bajo el agua

La piedra pesa $45{,}0\ \mathrm{N}$ en el aire y $27{,}0\ \mathrm{N}$ sumergida por completo en agua. $g = 9{,}80\ \mathrm{m/s^2}$ y $ρ = 1{,}00 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$.

1. El empuje es la diferencia: $45{,}0 - 27{,}0 = 18{,}0\ \mathrm{N}$.
2. $V = F_B / (ρ g) = 18{,}0 / (1{,}00 \times 10^{3} \times 9{,}80) = 1{,}84 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$, unos $1{,}84\ \mathrm{L}$.
3. La masa es $45{,}0 / 9{,}80 = 4{,}59\ \mathrm{kg}$. La densidad es $4{,}59 / 1{,}84 \times 10^{-3} = 2{,}50 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$. Es mayor que la del agua, y por eso se hunde.

Roble en agua y en gasolina

La tabla del libro da al roble $7{,}10 \times 10^{2}\ \mathrm{kg/m^3}$, al agua $1{,}00 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ a $4\ ^\circ\mathrm{C}$ y a la gasolina $6{,}80 \times 10^{2}\ \mathrm{kg/m^3}$. ²

1. $710 < 1000$, así que en agua flota. La fracción sumergida sería $710/1000 = 0{,}710$.
2. $710 > 680$, así que en gasolina se hunde. El empuje, con todo el volumen adentro, no alcanza al peso.
3. Ser sólido no decide. Decide la densidad media frente a la del fluido de ese momento.

Errores comunes

• Si al flotar usas el volumen entero en el empuje, cuentas agua que el cuerpo no desaloja. Entra solo la parte sumergida.
• Si restas al revés y tomas el peso aparente como empuje, te queda el número de la báscula mojada, no la diferencia.
• Si dices que un cuerpo más denso que el agua flota "porque es sólido" o se hunde "porque es ligero", estás mirando el nombre del material y no las dos densidades.
• La fracción $ρ_{\mathrm{cuerpo}}/ρ_{\mathrm{fl}}$ no describe a quien ya se fue al fondo. Esa razón, cuando sale mayor que 1, solo avisa que no flota.

Cómo lo pregunta el examen

Te dan el porcentaje sumergido de algo que flota y piden densidad y empuje: la fracción es el cociente de densidades, y el empuje iguala al peso. Otras veces hay dos pesadas, en aire y sumergido: la resta es el empuje y de ahí sale el volumen. También comparan el mismo sólido en dos líquidos: flota en el más denso que él y se hunde en el menos denso. Si el cuerpo está en reposo flotando, el empuje iguala al peso aunque no te den el volumen.

Resumen

• El empuje es la fuerza neta hacia arriba y siempre está, flote o no el cuerpo.
• Iguala el peso del fluido desalojado: $F_B = ρ_{\mathrm{fl}} g V_{\mathrm{sum}}$.
• Flota si su densidad media es menor que la del fluido; se hunde si es mayor.
• Al flotar, la fracción sumergida es $ρ_{\mathrm{cuerpo}}/ρ_{\mathrm{fl}}$.
• El peso aparente es el peso real menos el empuje.