Continuidad y principio de Bernoulli

¿Por qué el chorro de la manguera pega más si tapas la salida con el pulgar?

En el patio, tapar a medias la boca de la manguera alarga el chorro. El agua no aparece de la nada: la que entra por el tramo ancho tiene que salir por el angosto. Un fluido ideal, para estas cuentas, tiene viscosidad despreciable. Un líquido, además, casi no cambia de volumen, así que su densidad se toma constante. ¹

El caudal $Q$ es el volumen que pasa por un punto en un tiempo: $Q = dV/dt$. En un tubo de sección $A$ y rapidez media $v$, el volumen que cruza es $Av$, así que ¹

$$Q = Av.$$

La unidad del SI es $\mathrm{m^3/s}$. Un litro es $10^{-3}\ \mathrm{m^3}$.

Continuidad

Si no hay fugas ni entradas y el fluido no se comprime, el volumen que entra en un segundo es el que sale. En dos secciones, ¹

$$A_1 v_1 = A_2 v_2.$$

Donde el área baja, la rapidez sube, y al revés. El área de un círculo va con el cuadrado del radio, así que reducir el diámetro a la mitad multiplica la rapidez por cuatro. En un río que se abre en un embalse el agua se frena; en la boquilla de la manguera se acelera. Con gases hay que tener cuidado: se comprimen, y la igualdad de volúmenes falla si la densidad cambia. La forma general, antes de cancelar ρ, iguala la masa por segundo: $ρ_1 A_1 v_1 = ρ_2 A_2 v_2$. ¹

El tiempo para llenar un tanque de volumen $V$ con un caudal constante es $t = V/Q$.

Bernoulli

Esa rapidez extra es energía cinética. Sale del trabajo que hace la diferencia de presión, y también cuenta la altura si el tubo sube o baja. Daniel Bernoulli publicó la relación en 1738. Para un fluido incompresible y sin fricción, a lo largo de una línea de corriente, ²

$$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g y = \mathrm{constante}.$$

Es la conservación de la energía aplicada al fluido, la misma idea de la energía mecánica que se conserva cuando no hay fricción, ahora con la presión haciendo trabajo. ^{2 3}

Si los dos puntos están a la misma altura, los términos $ρgy$ se van y queda el principio de Bernoulli: ²

$$p_1 + \frac{1}{2} ρ v_1^{2} = p_2 + \frac{1}{2} ρ v_2^{2}.$$

Donde $v$ crece, $p$ baja. Por eso una cortina de regadera se mete al chorro: adentro el aire y el agua van rápido y la presión baja, y la atmósfera de afuera empuja la tela. Por eso dos hojas de papel se juntan si soplas entre ellas: el aire rápido del centro tiene menos presión que el aire quieto de afuera. ²

Si el fluido está quieto, la ecuación se reduce a la presión que crece con la profundidad. No reemplaza a la hidrostática: la incluye cuando $v = 0$. ²

Un tanque abierto con un orificio chico a una profundidad $h$ bajo la superficie se arma con esa ecuación. En la superficie la rapidez es casi cero y la presión es la atmosférica. En el orificio la presión también es la atmosférica, porque el chorro sale al aire. Se cancelan las dos presiones y queda $v = \sqrt{2gh}$, la rapidez de una caída libre desde esa altura. Hace falta que el orificio sea pequeño frente a la superficie, para poder tomar $v \approx 0$ arriba, y despreciar la fricción. ²

Ideas clave

• Caudal. $Q = Av$, volumen por segundo. No es lo mismo que la rapidez. ¹
• Continuidad. En un incompresible sin fugas, $A_1 v_1 = A_2 v_2$. El tramo angosto va más rápido. ¹
• Bernoulli. Sin fricción y con densidad constante, $p + \tfrac{1}{2}ρv^{2} + ρgy$ no cambia a lo largo del flujo. ²
• Misma altura. $p + \tfrac{1}{2}ρv^{2}$ se conserva. Más rapidez, menos presión. ²
• Orificio. Con la superficie casi quieta y las dos presiones atmosféricas, la salida cumple $v = \sqrt{2gh}$. ²

Ejemplos resueltos

De 6,00 cm de diámetro a 3,00 cm

Por un tubo de $6{,}00\ \mathrm{cm}$ de diámetro el agua va a $1{,}20\ \mathrm{m/s}$. Más adelante el diámetro es $3{,}00\ \mathrm{cm}$.

1. La rapidez depende del área, y el área del diámetro al cuadrado. La razón de diámetros es $2$, así que la de áreas es $4$.
2. $v_2 = 1{,}20 \times 4 = 4{,}80\ \mathrm{m/s}$.
3. El caudal no cambió: al doble de estrecho en diámetro, cuatro veces más rápido.

Llenar 8,00 m³

Una tubería de sección $0{,}040\ \mathrm{m^2}$ lleva agua a $1{,}25\ \mathrm{m/s}$ hacia un tanque vacío de $8{,}00\ \mathrm{m^3}$.

1. $Q = Av = 0{,}040 \times 1{,}25 = 0{,}050\ \mathrm{m^3/s}$.
2. $t = V/Q = 8{,}00 / 0{,}050 = 160\ \mathrm{s}$.
3. Si usaras la rapidez sin el área, no tendrías volumen por segundo y el tiempo no saldría en segundos.

Tubo horizontal que se angosta, y un orificio

En un tubo horizontal el agua pasa de $40\ \mathrm{cm^2}$ a $1{,}20\ \mathrm{m/s}$ con presión $1{,}80 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$, y luego a $10\ \mathrm{cm^2}$. $ρ = 1{,}00 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$.

1. Continuidad: la razón de áreas es $4$, así que $v_2 = 4{,}80\ \mathrm{m/s}$.
2. Misma altura: $p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}ρ(v_1^{2} - v_2^{2})$.
3. $\tfrac{1}{2}ρ(v_2^{2} - v_1^{2}) = 500 \times (23{,}04 - 1{,}44) = 1{,}08 \times 10^{4}\ \mathrm{Pa}$.
4. $p_2 = 1{,}80 \times 10^{5} - 1{,}08 \times 10^{4} = 1{,}69 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$. Bajó, como pide el principio.

Aparte, un orificio está $1{,}80\ \mathrm{m}$ bajo la superficie de un tanque abierto y es pequeño. Con $g = 9{,}80\ \mathrm{m/s^2}$,

$$v = \sqrt{2 \times 9{,}80 \times 1{,}80} = \sqrt{35{,}3} = 5{,}94\ \mathrm{m/s}.$$

Errores comunes

• Si en el tramo angosto subes la presión porque "hay más empuje", inviertes Bernoulli. La rapidez sube y, a la misma altura, la presión baja.
• Si al cambiar el diámetro usas la razón lineal y no su cuadrado, la rapidez queda a la mitad de la que toca, o al doble.
• Si confundes $Q$ con $v$, el tiempo de llenado no tiene unidades de tiempo.
• En el orificio, si dejas la presión atmosférica solo en un lado, sobra un término. En el caso del tanque abierto los dos lados dan al aire y se cancelan.

Cómo lo pregunta el examen

Te dan dos diámetros y una rapidez, y piden la otra: continuidad, con el cuadrado del diámetro. En un tubo horizontal te piden qué pasa con rapidez y presión en la parte angosta: la rapidez sube y la presión baja. El llenado de un tanque es $t = V/(Av)$. El orificio bajo la superficie, con el agua de arriba casi quieta, se responde con $\sqrt{2gh}$. Soplar entre dos hojas es el mismo principio: el aire rápido del medio tiene menor presión que el aire quieto de afuera.

Resumen

• $Q = Av$ es el volumen que pasa cada segundo.
• $A_1 v_1 = A_2 v_2$ si el fluido no se comprime y no hay fugas.
• $p + \tfrac{1}{2}ρv^{2} + ρgy$ se conserva sin fricción.
• A la misma altura, más rapidez significa menos presión.
• En un orificio chico y profundo, $v = \sqrt{2gh}$.