Conservación de la energía mecánica

¿A dónde se fue la altura cuando el carrito ya va rápido?

En una vía sin fricción, el carrito no crea energía al bajar ni la pierde al subir. La cambia de forma. Una fuerza es conservativa cuando su trabajo no depende del camino, solo de los puntos inicial y final. El peso es de ese tipo. La fricción no: su trabajo crece si el camino es más largo. Cuando el trabajo de las fuerzas no conservativas es cero y no hay fuerzas externas que metan o saquen energía, la energía mecánica se queda constante. ^{2 1}

$$K_i + U_i = K_f + U_f$$

Con cinética y potencial, eso es

$$\frac{1}{2}mv_i^2 + mgy_i = \frac{1}{2}mv_f^2 + mgy_f$$

Si el cuerpo parte del reposo, el primer término es cero. La masa se cancela al despejar la rapidez. El teorema de trabajo-energía dice lo mismo desde el otro lado: el trabajo neto iguala el cambio de cinética. Con solo el peso, ese trabajo es el cambio de potencial con signo contrario. ^{3 1}

Ideas clave

• Qué se conserva. La suma $K + U$, no cada una por separado. Al bajar, $U$ baja y $K$ sube en la misma cantidad. ¹
• Desde el reposo, solo con la altura. $mgy_i = \frac{1}{2}mv_f^2$ si abajo tomas $y = 0$. Entonces $v = \sqrt{2g\Delta h}$. La masa no entra. ¹
• El camino no importa. En una vía, un péndulo o una caída, sin fricción, la rapidez en un nivel depende de cuántos metros bajaste, no de la forma del riel. Es la marca de la fuerza conservativa. ²
• El punto más bajo va más rápido. En un perfil, el menor $y$ deja la mayor $K$. Un lomo intermedio, más alto, va más lento que el valle, aunque esté después. ¹
• Lo que no entra. Si hay fricción o resistencia del aire que sí haga trabajo, la igualdad de arriba se rompe. Esa pérdida está en fricción y energía disipada. ¹

$g = 9.8$ m/s² cerca de la Tierra, salvo que el enunciado escriba $g = 10$ m/s². Con 10, un descenso de $5$ m desde el reposo da $v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10$ m/s, un número cerrado a propósito. ¹

Ejemplos resueltos

Cinco metros, en reposo al salir

Un carrito sale del reposo y baja $5$ m. No hay fricción. El problema dice $g = 10$ m/s².

1. $U$ inicial se convierte en $K$ final: $mg\times 5 = \frac{1}{2}mv^2$.
2. Cancelas $m$: $v^2 = 2 \times 10 \times 5 = 100$.
3. $v = 10$ m/s. La altura no se copia en la rapidez: bajar $8$ m con el mismo $g$ da $v^2 = 160$, no $8$.

Con $g = 9.8$ y los mismos $5$ m, $v = \sqrt{98}$ m/s, cerca de $9.9$ m/s. El examen que imprime $g = 10$ quiere el entero.

La pelota que sube

Lanzas una pelota de $0.4$ kg hacia arriba a $5$ m/s. No hay resistencia del aire.

1. Al salir, $K = \frac{1}{2}\times 0.4 \times 25 = 5$ J, y puedes tomar $U = 0$ en la mano.
2. En el punto más alto la rapidez es cero, así que $K = 0$. Toda la energía está en $U$: $5$ J.
3. No hace falta la altura para contestar "cuánta potencial hay arriba" si ya tienes la cinética de salida y nada se disipó. La altura sería $h = U/(mg) = 5/(0.4 \times 9.8)$, cerca de $1.3$ m, solo si te la piden.

El perfil de la vía

El carrito sale del reposo en A, a $8$ m. Luego pasa por B a $2$ m, por C a $5$ m y por D a $3$ m. Sin fricción.

1. La cinética es mayor donde la altura es menor.
2. El mínimo es B, a $2$ m. Ahí va más rápido.
3. C está después de B y es más alto, así que ahí va más lento que en B. El orden del recorrido no gana a la altura.

Un péndulo que se suelta $0.5$ m arriba de su punto más bajo, con $g = 10$ m/s², pasa por abajo a $v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{10}$ m/s. No es $10$ m/s ni $5$ m/s: la raíz se queda.

Errores comunes

Si conservas la energía y dejas la masa en la rapidez, no cancelaste. En estas caídas sin fricción la masa no cambia el resultado.

Si tomas la rapidez mayor en el punto de salida, ese punto tiene la potencial más alta y, si sales del reposo, la cinética cero. El más rápido es el más bajo.

Si usas $v = \sqrt{2gh}$ con la altura del punto de llegada en vez de la diferencia, te sobra o te falta camino vertical. $\Delta h$ es lo que bajaste.

Si el problema dice "sin fricción" y restas una pérdida, inventaste un dato. La igualdad es exacta solo en ese caso.

Cómo lo pregunta el examen

Un descenso desde el reposo, a veces de una altura a otra que no es el suelo: usas la diferencia. Una pelota lanzada hacia arriba: la cinética de salida y la potencial en la cima son el mismo número de joules. Un péndulo con la altura marcada en el dibujo. Un perfil con varios puntos: gana el de menor altura. Cuando veas $g = 10$ m/s² escrito, no lo cambies por $9.8$.

Resumen

• Sin trabajo no conservativo, $K_i + U_i = K_f + U_f$.
• Desde el reposo, $v = \sqrt{2g\Delta h}$, y la masa se cancela.
• El camino no cambia la rapidez en un nivel. La fricción sí, y aquí no está.
• En un perfil, la rapidez mayor está en la altura menor.
• Si el enunciado fija $g = 10$ m/s², la cuenta cierra en enteros a propósito.