Ley de Ampère-Maxwell y ondas electromagnéticas

¿Qué mantiene una onda electromagnética en el vacío?

Ampère relacionó el campo magnético alrededor de un camino cerrado con la corriente que cruza una superficie apoyada en ese camino. Maxwell vio que esa ley se quedaba corta y propuso un término más, la corriente de desplazamiento $I_d$:

$$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$$

$\Phi_E$ es el flujo eléctrico. No es una corriente de cargas cruzando el alambre. La produce un campo eléctrico que cambia. Con ese término, la ley queda

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{s} = \mu_0 I + \varepsilon_0\mu_0\frac{d\Phi_E}{dt}$$

Un campo eléctrico cambiante produce campo magnético aunque la corriente real sea cero. Faraday ya decía el caso simétrico: un campo magnético que cambia induce un campo eléctrico. Las dos piezas juntas permiten que los campos se vayan regenerando. El libro describe el proceso como la propagación de una onda electromagnética por el espacio. ¹

En el espacio libre no hace falta un medio. Una corriente eléctrica constante produce un campo magnético constante en el tiempo, y ese campo no se propaga como onda. Las cargas que se aceleran sí producen ondas electromagnéticas. Una carga que oscila de arriba abajo, o una corriente alterna en un conductor, emite en las frecuencias de esa oscilación. En una antena dipolar, un transmisor hace que las cargas de los dos conductores se inviertan a la frecuencia que se quiere. La corriente, al cambiar sin parar, acelera la carga. De la antena sale un campo eléctrico oscilante. Los campos eléctricos que cambian producen campos magnéticos que cambian, y esos producen otra vez campos eléctricos. Lejos de la antena, los frentes de onda son casi esféricos. Más lejos, la radiación se propaga como ondas planas. Una antena receptora trabaja al revés: la onda que llega induce en ella corrientes que oscilan, cada una a su frecuencia. ²

La rapidez de esa propagación en el espacio libre sale de las mismas ecuaciones:

$$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m/s}$$

Es la rapidez de la luz. Por eso la luz cabe en esta familia. El catálogo de longitudes, de la radio a los rayos gamma, está en el espectro. El voltaje que un flujo cambiante induce en una bobina está en Faraday. ²

Ideas clave

• Corriente de desplazamiento: $I_d = \varepsilon_0\, d\Phi_E/dt$. Un campo eléctrico que cambia es fuente de campo magnético. ¹
• Simetría: un campo magnético que cambia induce un campo eléctrico, y un campo eléctrico que cambia induce un campo magnético. ¹
• Quién emite: cargas que se aceleran. Una carga quieta o una corriente constante no emiten la onda. ²
• Antena: la corriente alterna acelera cargas y la onda sale a la frecuencia de esa oscilación. ²
• En el vacío: cada campo variable genera al otro. No hay partículas de un medio empujándose. ^{2 1}
• Rapidez: $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} = 3.00 \times 10^{8}$ m/s. ²

Ejemplos resueltos

Qué cuenta como fuente

Cuatro situaciones. Di cuál emite una onda electromagnética.

1. Una carga colgada, en reposo. Produce campo eléctrico y no lo cambia. No emite.
2. Un alambre con corriente fija. Produce un campo magnético que tampoco cambia. No emite.
3. Electrones que van y vienen en una antena, acelerados por una corriente alterna. Sí emiten, a la frecuencia de esa oscilación.
4. Aire que vibra junto a una bocina. Eso es sonido, una onda mecánica. No es esta onda. ²

La pieza que Maxwell agregó

La ley de Ampère, antes del término nuevo, iguala la circulación de $\vec{B}$ a $\mu_0 I$.

1. Maxwell suma $I_d = \varepsilon_0\, d\Phi_E/dt$.
2. Si no hay cargas cruzando la superficie pero el flujo eléctrico cambia, el segundo término sigue produciendo campo magnético.
3. Un campo eléctrico que no cambia deja esa derivada en cero. No sustituye a la corriente.
4. El caso al revés, campo magnético que cambia y produce campo eléctrico, ya era Faraday. No lo confundas con el término de Maxwell. ¹

Cómo sigue la onda lejos de la antena

La antena ya radió. En una región del vacío no hay cargas ni corrientes.

1. Un campo eléctrico que cambia induce campo magnético.
2. Ese campo magnético, al cambiar, induce campo eléctrico.
3. El par se desplaza. No hace falta que una partícula del aire empuje a la siguiente.
4. La rapidez de ese desplazamiento es $3.00 \times 10^{8}$ m/s, la de la luz. ^{1 2}

Errores comunes

• Decir que Maxwell agregó "un campo magnético que cambia". Eso es Faraday. Maxwell agregó el campo eléctrico que cambia. ¹
• Aceptar una carga quieta o una corriente constante como fuente de la onda. Hace falta aceleración. ²
• Explicar el avance en el vacío como si el aire se empujara, igual que el sonido. El libro separa esta onda de las mecánicas. ²
• Poner los dos campos en la dirección en que la onda avanza. En la onda plana son perpendiculares a ese avance. ²
• Creer que, sin la antena ya lejos, la onda se apaga. Cada campo variable sigue generando al otro. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Pregunta qué genera la onda. La opción que cierra es una carga que oscila, o sea que se acelera de ida y vuelta. No una carga quieta, no una corriente constante y no la vibración del aire. ²

Otro pregunta con qué completó Maxwell la ley de Ampère. La respuesta es un campo eléctrico que cambia con el tiempo, la corriente de desplazamiento, no un campo magnético variable ni un campo eléctrico constante. ¹

El tercero pone la onda ya en el vacío, sin cargas ni corrientes, y pregunta qué la mantiene. La mantiene el relevo: el campo eléctrico variable genera el magnético y el magnético variable genera el eléctrico. No la mantiene un medio de partículas, ni un par de campos constantes, ni un campo alineado con el avance. ^{1 2}

Resumen

• La corriente de desplazamiento es $\varepsilon_0$ por el cambio del flujo eléctrico.
• Un campo eléctrico que cambia produce campo magnético, igual que una corriente.
• La onda la emiten cargas aceleradas, por ejemplo las de una antena con corriente alterna.
• En el vacío, cada campo variable regenera al otro.
• Esa propagación va a $3.00 \times 10^{8}$ m/s, la rapidez de la luz.