Movimiento uniformemente acelerado (MUA)

¿Qué es el movimiento uniformemente acelerado?

Un auto sale de un alto en Viaducto y el conductor mantiene el pedal en el mismo punto. La aguja del velocímetro no da un salto: sube parejo, por ejemplo 2 m/s más cada segundo. Esa tasa es la aceleración, y si no cambia el movimiento se llama uniformemente acelerado (MUA).

OpenStax toma el cronómetro en cero al inicio. Entonces el tiempo transcurrido es simplemente $t$, el desplazamiento es $x - x_0$ y el cambio de velocidad es $v - v_0$. Con aceleración constante, la aceleración media y la instantánea son la misma, así que un solo símbolo $a$ sirve para todo el intervalo. ¹

De la definición $a = (v - v_0) / t$ se despeja la velocidad. De ahí, y de que la velocidad media es el promedio de la inicial y la final, salen la posición y la relación sin tiempo. El MRU es el caso $a = 0$ de estas mismas ecuaciones: si la aceleración se anula, vuelve $x = x_0 + v_0 t$.

Ideas clave

• Velocidad: $v = v_0 + at$. $v_0$ es la velocidad al encender el cronómetro, $a$ la aceleración y $t$ el tiempo. Unidades: m/s, m/s² y s. ¹
• Posición: $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$. El tiempo del último término va al cuadrado. Si el objeto parte del reposo y de $x_0 = 0$, queda $x = \frac{1}{2}at^2$. ¹
• Sin el tiempo: $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$. Sirve cuando conoces velocidades y distancia, o cuando piden una de ellas y no aparece $t$. ¹
• Velocidad media: con $a$ constante, $\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$ y $x = x_0 + \bar{v}\, t$. Al frenar hasta el alto, la rapidez media es la mitad de la inicial. ¹
• Proporción con el cuadrado: desde el reposo, la distancia crece con $t^2$. Si el tiempo se multiplica por $n$, la distancia se multiplica por $n^2$. ¹

Ejemplos resueltos

Una bici que arranca en un parque

Una bici parte del reposo y acelera a 1.2 m/s² durante 5 s, en línea recta. ¿Qué velocidad alcanza y qué distancia recorre?

1. Datos: $v_0 = 0$, $a = 1.2$ m/s², $t = 5$ s. Tomas $x_0 = 0$.
2. Velocidad: $v = 0 + 1.2 \times 5 = 6$ m/s.
3. Distancia: $x = \frac{1}{2}(1.2)(5)^2 = 0.6 \times 25 = 15$ m.
4. Comprueba con la velocidad media. Sube de 0 a 6 m/s, así que la media es 3 m/s. En 5 s recorre $3 \times 5 = 15$ m. Las dos cuentas coinciden.
5. El orden de magnitud cuadra: 15 m es un tramo corto de ciclovía, y 6 m/s es unos 22 km/h.

Un taxi que frena en un semáforo

Un taxi va a 14 m/s y frena con aceleración constante hasta detenerse en 3.5 s. ¿Qué aceleración tuvo y qué distancia recorrió mientras frenaba?

1. El sentido del movimiento es el positivo. $v_0 = 14$ m/s, $v = 0$, $t = 3.5$ s.
2. Aceleración: $a = \frac{0 - 14}{3.5} = -4$ m/s². El signo negativo dice que la velocidad baja.
3. Distancia: $x = 14(3.5) + \frac{1}{2}(-4)(3.5)^2 = 49 - 24.5 = 24.5$ m.
4. Por la media: la rapidez baja de 14 a 0, media 7 m/s, y $7 \times 3.5 = 24.5$ m.
5. Si hubieras puesto $a$ positiva, el término $\frac{1}{2}at^2$ se sumaría y la distancia saldría de 73.5 m, como si el taxi acelerara en lugar de frenar.

La pista, sin que te den el tiempo

Una avioneta parte del reposo y debe llegar a 30 m/s para despegar. Acelera a 2.5 m/s². ¿Qué longitud mínima de pista necesita?

1. No hay tiempo en los datos ni en la pregunta. La ecuación que no lo usa es $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$.
2. $v_0 = 0$, $v = 30$ m/s, $a = 2.5$ m/s², $x_0 = 0$.
3. $900 = 2(2.5)x = 5x$, así que $x = 180$ m.
4. El tiempo, por si quieres revisarlo: $t = v / a = 30 / 2.5 = 12$ s. Entonces $x = \frac{1}{2}(2.5)(12)^2 = 1.25 \times 144 = 180$ m.
5. 180 m es una pista corta de club, coherente con 30 m/s (108 km/h) y una aceleración moderada.

Errores comunes

• Si omites el $\frac{1}{2}$ en $x = \frac{1}{2}at^2$, la distancia sale del doble. Ese factor viene de promediar la velocidad, que arranca en cero y termina en $at$.
• Si calculas $at$ y esa velocidad final la anotas como distancia, mezclaste unidades: m/s no son metros. La distancia necesita otra ecuación.
• Si al frenar tomas la aceleración positiva, sumas el término que debería restar. Elige positivo el sentido en el que el objeto ya se mueve; frenar es $a < 0$.
• Si desde el reposo supones que la distancia crece en proporción al tiempo, tratas el MUA como si fuera MRU. Al duplicar el tiempo, la distancia desde el reposo se cuadruplica, no se duplica.
• Si despejas $a = d / t^2$ y olvidas el 2, te falta el factor que sale de $d = \frac{1}{2}at^2$. Lo correcto es $a = \frac{2d}{t^2}$.

Cómo lo pregunta el examen

El problema te da tres de estas cinco piezas y pide otra: posición (o distancia), velocidad inicial, velocidad final, aceleración y tiempo. Anótalas, incluida la que vale cero. "Parte del reposo" es $v_0 = 0$. "Se detiene" es $v = 0$. "Frena" o "desacelera" es aceleración de signo opuesto a la velocidad.

Elige la ecuación por lo que falta, no por la costumbre. Si no aparece el tiempo, usa $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$. Si no aparece la aceleración y sí las dos velocidades, la rapidez media por el tiempo te da la distancia en un paso. Si el objeto parte del reposo y comparan dos tiempos, no recalcules todo: la distancia va con el cuadrado del tiempo.

Una gráfica de velocidad contra tiempo del mismo movimiento se lee en gráficas de movimiento: la pendiente es esta $a$ y el área bajo la recta es este desplazamiento.

Resumen

• Aceleración constante: $v = v_0 + at$ y $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$.
• Sin tiempo: $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$.
• Con $a$ constante la velocidad media es $\frac{v_0 + v}{2}$, y la distancia es esa media por $t$.
• Desde el reposo, $v = at$ y $x = \frac{1}{2}at^2$; la distancia crece con $t^2$.
• Al frenar, $a$ es negativa si la velocidad inicial es positiva. El signo no es opcional.