Gas ideal

¿Cómo se relacionan la presión, el volumen y la temperatura de un gas ideal?

En moles, la ley se escribe $pV = nRT$. $p$ es la presión absoluta, $V$ el volumen, $n$ el número de moles y $T$ la temperatura absoluta. $R$ es la constante universal de los gases. En el SI vale 8.31 J/(mol·K). En litros y atmósferas, $R = 0.0821$ L·atm/(mol·K). Sirve el valor cuyas unidades coincidan con las del dato. Si el recipiente es rígido, $V$ y $n$ no cambian y $p/T$ se queda constante. Si la presión no cambia, $V/T$ se queda constante. Las dos salen de la misma ecuación. La temperatura de esa $T$ se lee en kelvin: para pasar de Celsius se usa la escala. ¹

El modelo que sostiene la ley es concreto. A baja densidad las moléculas ocupan una fracción insignificante del volumen total, y las distancias entre ellas son grandes frente al tamaño de una molécula. Las fuerzas se consideran insignificantes, salvo en el contacto de una colisión. En la derivación de la presión, las moléculas de la muestra son idénticas, cada una con masa $m$, y chocan de forma perfectamente elástica con las paredes y entre sí. Otras fuerzas, la gravedad y las atracciones que la ecuación de van der Waals sí corrige, se desprecian. Van der Waals agrega justo lo que el gas ideal deja fuera: un término de atracción y un volumen propio de las moléculas. Por eso "se atraen y por eso el gas se mantiene unido" no es un supuesto del gas ideal, y "todas se mueven con la misma rapidez" tampoco. ^{2 3}

La energía cinética promedio por molécula es $\bar{K} = \frac{3}{2}k_B T$. No depende de la masa. Si la temperatura absoluta se duplica, esa energía promedio se duplica. La rapidez típica sí depende de la masa: $v_{\text{rms}} = \sqrt{3k_B T / m}$. A la misma $T$, la molécula de menor masa tiene mayor $v_{\text{rms}}$. Esa $v_{\text{rms}}$ no es el promedio de las rapideces ni la rapidez más probable: las moléculas no comparten un solo valor. ³

Ideas clave

• Ecuación. $pV = nRT$, con $T$ en kelvin. $R = 0.0821$ L·atm/(mol·K) cuando $p$ está en atmósferas y $V$ en litros. ¹
• Proporciones. A $V$ y $n$ fijos, $p$ es proporcional a $T$. A $p$ y $n$ fijos, $V$ es proporcional a $T$. A $T$ fija, $pV$ es constante. ¹
• Modelo. Moléculas idénticas, volumen propio insignificante, choques perfectamente elásticos, y sin atracción apreciable fuera del choque. ^{2 3}
• Energía. $\bar{K} = \frac{3}{2}k_B T$. No depende de la masa. Duplicar $T$ en kelvin duplica esa energía. ³
• Rapidez. $v_{\text{rms}} = \sqrt{3k_B T / m}$. Más ligera, más rápida, a la misma temperatura. ³

Ejemplos resueltos

Presión en un tanque

Un mol de gas ideal ocupa 4.00 L a 126.85 °C. Usa $R = 0.0821$ L·atm/(mol·K). ¿Qué presión tiene?

1. $126.85$ °C son $126.85 + 273.15 = 400$ K. La fórmula no acepta el 126.85 directo. ¹
2. $p = \frac{nRT}{V} = \frac{(1)(0.0821)(400)}{4.00} = 8.21$ atm.
3. Si dejas la temperatura en Celsius, $p$ sale cerca de 2.6 atm y no es la presión del gas.

El globo a presión constante

Un globo tiene 4.0 L a 300 K. Se calienta hasta 450 K sin cambiar la presión ni la cantidad de gas. ¿Cuál es el volumen nuevo?

1. De $pV = nRT$, con $p$ y $n$ fijos, $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$. ¹
2. $V_2 = 4.0 \times \frac{450}{300} = 6.0$ L.
3. El factor es el cociente de las temperaturas absolutas, no el cociente de unos Celsius que no te dieron.

Dos gases en el mismo recipiente

Hidrógeno y oxígeno comparten un recipiente a 300 K.

1. $\bar{K} = \frac{3}{2}k_B T$ no lleva la masa. Las dos moléculas tienen la misma energía cinética promedio. ³
2. $v_{\text{rms}}$ sí lleva la masa en el denominador. La molécula de hidrógeno, más ligera, tiene mayor rapidez rms. ³
3. No es que el oxígeno, por pesado, tenga más energía cinética promedio. Esa frase contradice la ecuación 2.6.

Errores comunes

Meter Celsius en $pV = nRT$. $T$ es absoluta. 27 °C no es 27 K: es 300.15 K. ¹

Marcar como supuesto del gas ideal que las moléculas se atraen, o que todas llevan la misma rapidez. El modelo desprecia las atracciones y la $v_{\text{rms}}$ no es una rapidez única. ^{2 3}

Creer que en un choque elástico se pierde la energía cinética total. "Perfectamente elástica" quiere decir que esa energía cinética del par se conserva en el choque. ³

Duplicar la energía cinética porque los Celsius pasaron de 20 a 40. Hay que pasar a kelvin antes de hacer el cociente. De 293.15 K a 313.15 K el factor es cercano a 1.07, no a 2. ³

Cómo lo pregunta el examen

Si el recipiente es rígido, $V$ no cambia. Escribe $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ con las dos temperaturas en kelvin. Si el globo mantiene la presión, el cociente es de volúmenes. ¹

Si dan $n$, $V$, $T$ y $R$, despeja la presión. $R = 0.0821$ cuadra con atmósferas y litros. El 8.31 cuadra con joules y metros cúbicos. No los mezcles. ¹

En la gráfica isotérmica, $pV$ es constante. Un punto te da el producto. En otro volumen, la presión es ese producto partido por el volumen nuevo. ¹

En la selección del modelo, quédate con moléculas idénticas, choques elásticos y volumen propio insignificante. Descarta la atracción y la rapidez única. ^{2 3}

Si preguntan el factor de la energía cinética promedio, divide las temperaturas en kelvin. De 200 K a 400 K el factor es 2. La rapidez rms, en ese mismo salto, queda multiplicada por $\sqrt{2}$, no por 2. ³

Resumen

• $pV = nRT$ usa kelvin. Con litros y atmósferas, $R = 0.0821$.
• A volumen fijo, la presión es proporcional a $T$. A presión fija, el volumen es proporcional a $T$.
• El modelo: moléculas idénticas, choques elásticos, volumen propio insignificante y sin atracción apreciable.
• La energía cinética promedio es $\frac{3}{2}k_B T$ y no depende de la masa.
• A igual temperatura, la molécula más ligera tiene mayor rapidez rms.