Leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac

¿Qué queda fijo cuando aplicas cada ley?

Las tres leyes de esta ficha describen un gas con una cantidad fija. Cada una deja quieta otra variable y mira cómo se mueven las dos que quedan. La temperatura que entra en Charles y en Gay-Lussac es la de la escala kelvin. En el gráfico de presión contra temperatura de la sección 9.2, la recta extrapolada llega a presión $0$ en $-273\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Ese punto es el $0$ de la escala kelvin y la temperatura más baja posible: el cero absoluto. Un grado Celsius no es un kelvin de origen. Si dejas los grados Celsius en el cociente, el factor sale mal. ¹

Presión y temperatura, con el volumen quieto

Guillaume Amontons estableció de forma empírica la relación entre presión y temperatura de un gas hacia $1700$, y Joseph Louis Gay-Lussac la determinó con más precisión hacia $1800$. Por eso la relación P-T se llama ley de Amontons o ley de Gay-Lussac. Con cualquiera de los dos nombres, la presión de una cantidad dada de gas es directamente proporcional a su temperatura kelvin cuando el volumen se mantiene constante. Si la temperatura kelvin se multiplica por un factor, la presión se multiplica por el mismo factor. En símbolos, $P$ entre $T$ es constante, y para dos estados del mismo gas

$$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}.$$

El recipiente del libro es rígido y está cerrado: no cambia el volumen y no escapa el gas. Enfriar baja la presión. Calentar la sube. ¹

Volumen y temperatura, con la presión quieta

La ley de Charles dice que el volumen de una cantidad determinada de gas es directamente proporcional a su temperatura kelvin cuando la presión se mantiene constante:

$$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}.$$

El globo sellado del libro se encoge en el refrigerador y vuelve a crecer al calentarse: la cantidad y la presión siguen iguales, y el volumen acompaña a la temperatura. En kelvin, volumen y temperatura son directamente proporcionales. La constante de esa proporción depende de la cantidad y de la presión. ²

Volumen y presión, con la temperatura quieta

La ley de Boyle dice que, a temperatura constante, presión y volumen son inversamente proporcionales. No son directamente proporcionales: si la presión aumenta, el volumen del gas disminuye. En la jeringa cerrada del libro, empujar el émbolo despacio, sin cambiar la temperatura, comprime el aire y sube la presión. Sacar el émbolo hace lo contrario. La relación útil entre dos estados es

$$P_1 V_1 = P_2 V_2.$$

La constante depende de la cantidad y de la temperatura. Un gráfico de $1/P$ contra $V$ es lineal. Uno de $P$ contra $V$ no lo es: es la curva de la inversa. ³

La ecuación que junta las tres, $PV = nRT$, está en la ficha del gas ideal. Aquí cada ley se usa solo cuando la variable que la ley deja fija de verdad no cambió. ³

Ideas clave

• Kelvin. Charles y Gay-Lussac van con la temperatura kelvin. El cero absoluto del gráfico está en $-273\ ^{\circ}\mathrm{C}$. ¹
• Gay-Lussac. También llamada ley de Amontons: $P_1/T_1 = P_2/T_2$ con volumen y cantidad fijos. ¹
• Charles. $V_1/T_1 = V_2/T_2$ con presión y cantidad fijas. ²
• Boyle. $P_1 V_1 = P_2 V_2$ con temperatura y cantidad fijas. Presión y volumen van al revés. ³
• Una variable quieta. Si se mueven las tres, ninguna de estas igualdades alcanza sola. ³

Ejemplos resueltos

Jeringa, temperatura fija

Un gas ocupa $3{,}0$ L a $2{,}0$ atm. La temperatura no cambia y el gas no escapa. La presión pasa a $1{,}5$ atm. ¿Qué volumen ocupa?

1. Boyle: $P_1 V_1 = P_2 V_2$. ³
2. $2{,}0 \times 3{,}0 = 1{,}5 \times V_2$, así que $V_2 = 6{,}0 / 1{,}5 = 4{,}0$ L.
3. La presión bajó y el volumen subió. No era un doble exacto: de $2{,}0$ a $1{,}5$ el volumen pasa de $3{,}0$ a $4{,}0$.

Globo que se calienta

Un globo tiene $2{,}0$ L a $300$ K. La presión se mantiene. La temperatura pasa a $450$ K. ¿Qué volumen tiene?

1. Charles: $V_2 = V_1 \times T_2 / T_1$. ²
2. $V_2 = 2{,}0 \times 450 / 300 = 3{,}0$ L.
3. $450$ K no son $450\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Si el dato hubiera llegado en Celsius, primero se suma $273$ para entrar a la escala del cero absoluto de este gráfico. ¹

Recipiente rígido

Un tanque cerrado de paredes rígidas tiene gas a $1{,}2$ atm y $300$ K. Se calienta a $450$ K. El volumen no cambia. ¿Qué presión queda?

1. Gay-Lussac: $P_2 = P_1 \times T_2 / T_1$. ¹
2. $P_2 = 1{,}2 \times 450 / 300 = 1{,}8$ atm.
3. Usar Boyle aquí, con el volumen quieto, no tiene sentido: Boyle mueve el volumen. En el tanque rígido quien se mueve es la presión. ³

Errores comunes

• Dejar la temperatura en Celsius dentro de $V_1/T_1$ o $P_1/T_1$. La proporción es en kelvin. ²
• Tratar Gay-Lussac y Amontons como dos fórmulas. En la 9.2 son dos nombres de la misma relación P-T. ¹
• Aplicar $P_1 V_1 = P_2 V_2$ cuando la temperatura también cambió. ³
• Esperar una recta al graficar $P$ contra $V$. La recta de Boyle es $1/P$ contra $V$. ³

Cómo lo pregunta el examen

El enunciado dice qué se mantiene constante. Volumen fijo y cambio de temperatura: Gay-Lussac, presión final igual a la inicial por el cociente de kelvin. Presión fija y cambio de temperatura: Charles, el volumen se multiplica por ese mismo cociente. Temperatura fija y cambio de presión: Boyle, el producto $PV$ se conserva. Un gas a $2{,}0$ atm y $3{,}0$ L que pasa a $1{,}5$ atm, sin cambio de temperatura, ocupa $4{,}0$ L. Uno a $300$ K y $2{,}0$ L que pasa a $450$ K, sin cambio de presión, ocupa $3{,}0$ L. El mismo salto de temperatura en un tanque rígido lleva $1{,}2$ atm a $1{,}8$ atm. ^{3 2 1}

Resumen

• La temperatura de Charles y de Gay-Lussac va en kelvin. El cero absoluto del gráfico está en $-273\ ^{\circ}\mathrm{C}$. ¹
• Gay-Lussac y Amontons: $P/T$ constante a volumen fijo. ¹
• Charles: $V/T$ constante a presión fija. ²
• Boyle: $PV$ constante a temperatura fija, con presión y volumen inversos. ³
• Cada igualdad pide que la tercera variable no se haya movido. ³