Inferencias válidas: modus ponens y modus tollens

¿Qué se puede concluir de este si-entonces?

Herder llama modus ponens, "modo que afirma", a la regla de la lógica de enunciados cuyo ejemplo es este:

Si duerme, Ana sueña. Ana duerme. Ana sueña.

Se afirma la oración del "si" y se concluye la del "entonces". La página de la conclusión repite el mismo esquema con una raya antes de "Ana sueña". No afirma el consecuente para adivinar el antecedente. Afirma el antecedente. ^{1 3}

Modus tollens, "modo que niega", y en la forma larga modus tollendo tollens, "que niega negando", es la otra regla. El ejemplo de Herder:

Si Dios no existiera, todo estaría permitido. No es verdad que todo esté permitido. Por tanto, Dios existe.

El esquema que la página imprime es: ¬p → q; ¬q; luego p. El antecedente de ese condicional ya es una negación (¬p, "Dios no existe"). Se niega el consecuente (¬q). Al negar el antecedente de ¬p queda p. La misma regla, dicha sobre un condicional cualquiera: niegas lo del "entonces" y concluyes la negación de lo del "si". Si lo del "si" ya era un "no", la negación de ese "no" afirma. ^{2 3}

Las dos son formas válidas en el sentido de la ficha validez y corrección: si las premisas fueran verdaderas, la conclusión tendría que serlo. Que las premisas lo sean de hecho es la corrección, no la regla.

Herder lee la "o" inclusiva como "P o Q o ambos": una, la otra, o las dos. Si esa unión es verdadera y una de las dos es falsa, la otra tiene que ser verdadera. "Ninguna de las dos" no cabe en esa lectura. No es un tercer nombre latino en estas páginas. Es la lectura de la inclusiva más una negación. ⁴

Ideas clave

• Ponens. Condicional, más el antecedente. Conclusión: el consecuente. El ejemplo es "si duerme, sueña; duerme; luego sueña". ¹
• Tollens. Condicional, más la negación del consecuente. Conclusión: la negación del antecedente. ²
• El esquema impreso. ¬p → q, ¬q, luego p. El "no" del antecedente se levanta porque se negó ese antecedente. ²
• No son las fallas vecinas. Afirmar solo el consecuente, o negar solo el antecedente, no es ninguna de las dos reglas. ¹
• La o inclusiva. Si vale "una, la otra o ambas" y una falla, la otra queda. ⁴

Ejemplos resueltos

El ensayo del martes

Si hay ensayo el martes, el aula 4 se ocupa. Hay ensayo el martes. Luego, el aula 4 se ocupa.

Es el ponens. Afirmaste lo del "si". Concluyes lo del "entonces". No hace falta un dato nuevo sobre el aula: ya iba en el condicional.

Si el texto dijera "el aula 4 se ocupa; luego hay ensayo", estarías afirmando el consecuente. Eso no es el ejemplo de Herder. El aula puede ocuparse por otra causa.

Negar lo del entonces

Si hay ensayo el martes, el aula 4 se ocupa. El aula 4 no se ocupa. Luego, no hay ensayo el martes.

Niegas el consecuente. Concluyes la negación del antecedente. Es tollens, el mismo movimiento que en el ejemplo en el que se niega "todo está permitido" y se niega, con ello, "Dios no existe".

Si negaras el antecedente ("no hay ensayo") y concluyeras que el aula no se ocupa, no sería tollens. El condicional no dijo que el aula se ocupe solo por el ensayo.

La o y un tollens corto

Hay clase en el aula 4 o hay clase en el patio. Si hay clase en el patio, sobran sillas plegables. No sobran sillas plegables.

Del condicional y de "no sobran sillas" sale, por tollens, que no hay clase en el patio. Queda la o inclusiva con un lado falso. Por la lectura "una, la otra o ambas", tiene que haber clase en el aula 4. Si las dos premisas de la o pudieran ser falsas a la vez, la o no habría sido verdadera.

Errores comunes

Ver un "si" y un dato, y concluir al revés. Mira si el dato es lo del "si" (ponens) o la negación de lo del "entonces" (tollens).

Llamar ponens a "Q, luego P" cuando la premisa era "si P, entonces Q". Ahí se afirmó el consecuente.

Llamar tollens a "no P, luego no Q". Ahí se negó el antecedente. El tollens niega el consecuente.

Cómo lo pregunta el examen

Te dan "si ocurre A, ocurre B" y "no ocurre B". La conclusión válida es "no ocurre A". No concluyas que A sí ocurre, ni que no se puede decir nada de A.

Te dan la forma "si P, entonces Q; Q; luego P" y preguntan cómo se evalúa. No es ponens ni tollens. Es inválida.

Un texto con "todos" y "ninguno" puede ser un silogismo de clases, no estas dos reglas. Herder define el silogismo como dos premisas y una conclusión que, si las premisas son verdaderas, ha de tomarse por verdadera. Si la segunda premisa excluye a todo un grupo, la conclusión excluye de ese grupo a quienes la primera metió ahí.

Si hay una "o" y luego un condicional sobre una de las opciones, niega primero el consecuente de ese condicional y mira qué lado de la "o" queda en pie.

Resumen

• El ponens afirma el antecedente y concluye el consecuente.
• El tollens niega el consecuente y concluye la negación del antecedente.
• El esquema impreso niega un consecuente y levanta el "no" que ya traía el antecedente.
• Afirmar el consecuente, o negar el antecedente, no es ninguna de las dos reglas.
• En la o inclusiva, si un lado es falso, el otro queda verdadero.