Gráficas de seno y coseno: amplitud, periodo y desfase

¿Qué números cambian la gráfica del seno?

Una función que repite sus valores en intervalos regulares es periódica. El periodo es el intervalo más chico con esa repetición. En la gráfica, cada ciclo tiene el mismo largo. Si conoces un ciclo completo, conoces la función en los ciclos de adelante y de atrás. ⁴

En un seno o un coseno, la amplitud es la distancia de la línea media al máximo, o de la línea media al mínimo. La línea media es el valor promedio. La gráfica oscila por encima y por debajo de esa línea, y vuelve a tomar los mismos valores en cada ciclo. ¹

El desfase, o fase, es el desplazamiento horizontal del seno o del coseno básico. No es lo mismo que subir la gráfica. Subir o bajar es un corrimiento vertical: la línea media se va a otra altura. El libro separa las dos cosas. El desfase corre la gráfica a la izquierda o a la derecha. El término suelto, fuera del seno, mueve la línea media. ²

Hay un ejemplo leído entero. La función es $y = 3 \sin(2x) + 1$. Su amplitud es 3. Su línea media es $y = 1$. Su periodo es $\pi$. El máximo local está en $(\pi / 4,\, 4)$ y el mínimo local en $(3\pi / 4,\, -2)$. La distancia de 1 a 4 es 3, y la de 1 a $-2$ también es 3. Esa distancia es la amplitud, no el 4 del máximo. ^{3 1}

El seno y el coseno no arrancan el ciclo en el mismo lugar. La gráfica del seno empieza en el valor promedio. La del coseno empieza en un máximo o en un mínimo. Si una curva corta la línea media al inicio del ciclo, se parece al seno. Si arranca arriba o abajo, se parece al coseno. ⁵

El ángulo de esa gráfica puede venir en radianes. Si el enunciado está en grados, conviértelo antes con grados y radianes. El seno como coordenada del círculo está en el círculo trigonométrico.

Ideas clave

• Periodo. El intervalo más corto en el que la función repite sus valores. ⁴
• Amplitud. Distancia de la línea media al máximo, o al mínimo. ¹
• Línea media. El valor promedio. La gráfica oscila alrededor de ella. ¹
• Desfase. Desplazamiento horizontal del seno o del coseno básico. ²
• Ejemplo. $3 \sin(2x) + 1$ tiene amplitud 3, línea media $y = 1$ y periodo $\pi$. ³

Ejemplos resueltos

Leer el ejemplo del libro

En $y = 3 \sin(2x) + 1$, un máximo está en $(\pi / 4,\, 4)$ y un mínimo en $(3\pi / 4,\, -2)$. Comprueba amplitud y línea media.

1. La línea media de esta función es $y = 1$. ³
2. Del máximo a la línea media: $4 - 1 = 3$.
3. De la línea media al mínimo: $1 - (-2) = 3$.
4. Las dos distancias coinciden. La amplitud es 3, que es el coeficiente de enfrente, no el 4. ¹
5. El periodo que el libro lee en esa gráfica es $\pi$, no la distancia entre el máximo y el mínimo nada más. Esa distancia en x es $3\pi / 4 - \pi / 4 = \pi / 2$, la mitad del periodo. ³

Una línea media que no es el eje

Una senoide tiene máximo 7 y mínimo 1. ¿Cuál es la línea media y cuál es la amplitud?

1. La línea media es el valor promedio. ¹
2. Promedio de 7 y 1: $(7 + 1) / 2 = 4$. La línea media es $y = 4$.
3. Distancia al máximo: $7 - 4 = 3$. Distancia al mínimo: $4 - 1 = 3$.
4. La amplitud es 3. No es 7, y no es $7 - 1 = 6$. El 6 es el recorrido completo, de mínimo a máximo, el doble de la amplitud.
5. La gráfica oscila entre 1 y 7, alrededor de 4. ¹

Seno o coseno

Una gráfica corta su línea media al comenzar el ciclo. Otra empieza en el máximo. ¿Cuál se parece al seno y cuál al coseno?

1. El seno empieza en el valor promedio, que es la línea media. ⁵
2. La primera gráfica se parece al seno.
3. El coseno empieza en un máximo o en un mínimo. ⁵
4. La segunda se parece al coseno.
5. El desfase puede correr ese inicio a la izquierda o a la derecha. Moverlo hacia arriba sería cambiar la línea media, no la fase. ²

Errores comunes

Llamas amplitud al máximo. En $3 \sin(2x) + 1$ el máximo es 4 y la amplitud es 3. El 4 ya incluye la línea media en 1. Restar esa línea es el paso que falta. ^{3 1}

Mides el periodo de un máximo al mínimo siguiente. En el ejemplo, eso vale $\pi / 2$, y el periodo es $\pi$. De un máximo al siguiente máximo sí recorre el periodo. Del máximo al mínimo solo va media oscilación. ³

Confundes desfase con corrimiento vertical. Sumar 1 en $3 \sin(2x) + 1$ sube la línea media a $y = 1$. No corre la gráfica hacia la derecha. El desfase es horizontal. ^{2 3}

Cómo lo pregunta el examen

Te dan la fórmula o el dibujo y piden amplitud, periodo o línea media. En el dibujo, promedia máximo y mínimo para la línea media, y mide de ahí al máximo para la amplitud. No marques el máximo como amplitud si la línea media no es el eje horizontal.

Si la fórmula es del estilo del ejemplo, el número que multiplica al seno es la amplitud de ese ejemplo, y lo que se suma fuera es la altura de la línea media. El periodo hay que leerlo en la gráfica o en el dato del problema. No uses la mitad de la distancia entre un máximo y un mínimo. ^{3 1}

Resumen

• El periodo es el ciclo más corto en el que los valores se repiten.
• La amplitud es la distancia de la línea media al máximo.
• La línea media es el promedio entre el máximo y el mínimo.
• El desfase corre la gráfica en horizontal. Sumar una constante la sube o la baja.
• En $3 \sin(2x) + 1$ la amplitud es 3, la línea media es 1 y el periodo es $\pi$.