Círculo trigonométrico

¿Dónde quedan el seno y el coseno en el plano?

El círculo unitario está centrado en el origen y tiene radio 1. El lado final de un ángulo en posición estándar corta ese círculo en un punto. El seno del ángulo es la coordenada y de ese punto. El coseno es la coordenada x. No hace falta un triángulo aparte: el radio ya es la hipotenusa, y mide 1, así que el opuesto y el adyacente quedan iguales a las razones. ¹

Cuando el punto cae sobre un eje, las coordenadas son las más simples. Si el lado final cae en $(1, 0)$, el coseno es 1 y el seno es 0. Si cae en $(0, 1)$, el coseno es 0 y el seno es 1. Si cae en $(-1, 0)$, el coseno es $-1$ y el seno es 0. Si cae en $(0, -1)$, el coseno es 0 y el seno es $-1$. El libro señala que esos valores, con el punto sobre un eje, se leen directo. ^{2 1}

La tangente es la y entre la x de ese mismo punto. En $(1, 0)$ la tangente es $0 / 1 = 0$. En $(0, 1)$ el denominador es 0, así que la tangente no está definida. No se "inventa" un valor grande: la división entre cero no es un número del círculo. ³

Como el punto está a distancia 1 del origen, $x^2 + y^2 = 1$. Cambiando x por coseno y y por seno, esa suma de cuadrados vale uno. Es la identidad pitagórica del ángulo. Si te dan una coordenada, la otra sale de esa suma, y el cuadrante decide el signo, como en los ángulos de cualquier cuadrante. ⁴

El radián sigue siendo arco entre radio. Aquí el radio es 1, así que la medida en radianes coincide con la longitud del arco sobre este círculo. Por eso el círculo unitario junta el ángulo y el punto en la misma figura. La conversión con grados está en grados y radianes. ⁵

Ideas clave

• Círculo. Centro en el origen, radio 1. ¹
• Coseno. Es la x del punto donde corta el lado final. ¹
• Seno. Es la y de ese punto. ¹
• Ejes. En $(1, 0)$ el seno es 0. En $(0, 1)$ el coseno es 0. ²
• Tangente. Es y entre x. Si x es 0, no está definida. ³
• Identidad. $x^2 + y^2 = 1$ es el cuadrado del coseno más el cuadrado del seno. ⁴

Ejemplos resueltos

Punto sobre el eje

El lado final corta el círculo unitario en $(0, -1)$. Halla seno, coseno y tangente.

1. Coseno es x, seno es y. ¹
2. Coseno: 0. Seno: $-1$. ²
3. Tangente: y entre x. El denominador es 0, así que no hay tangente. ³
4. Comprueba la identidad: $0^2 + (-1)^2 = 1$. ⁴
5. No reportes tangente 0. Cero sería una y nula con x distinta de cero, como en $(1, 0)$.

Una coordenada y el cuadrante

El punto está en el círculo unitario, la y es $5 / 13$ y el punto está en el segundo cuadrante. Halla la x.

1. $x^2 + y^2 = 1$. ⁴
2. $x^2 + 25 / 169 = 1$, así que $x^2 = (169 - 25) / 169 = 144 / 169$.
3. $x = 12 / 13$ o $x = -12 / 13$.
4. Segundo cuadrante: x negativa. La coordenada es $-12 / 13$. ¹
5. Seno $5 / 13$, coseno $-12 / 13$. Tangente: $(5 / 13) / (-12 / 13) = -5 / 12$. ³

Arco con radio 1

Un arco sobre este círculo mide $2$. ¿Cuánto mide el ángulo central, en radianes?

1. El radián es el arco dividido entre el radio. ⁵
2. El radio es 1. ¹
3. El ángulo mide $2 / 1 = 2$ radianes.
4. No son 2 grados. La unidad salió de la razón arco entre radio.
5. El punto de llegada tiene coseno y seno de un ángulo de 2 radianes. Esas coordenadas no son 2: ninguna x o y de este círculo pasa de 1 en valor absoluto. ⁴

Errores comunes

Lees el seno en la x. En $(0, -1)$ la x es 0 y la y es $-1$. El seno es $-1$, no 0. El 0 es el coseno. Voltear las coordenadas es el mismo error que cambiar opuesto por adyacente en el rectángulo. ¹

Aceptas un seno mayor que 1. Si alguien dice que el punto $(0, 2)$ está en el círculo unitario, la distancia al origen es 2, no 1. Ese punto no sirve para leer el seno como la y pelona. ^{1 4}

Divides y entre x cuando x es 0 y escribes tangente 0, o infinito, como si fuera un resultado del problema. En $(0, 1)$ y en $(0, -1)$ la tangente no está definida. El seno sí existe: es 1 o $-1$. ³

Cómo lo pregunta el examen

Te dan el punto donde el lado final corta el círculo de radio 1 y piden seno, coseno o tangente. La respuesta se lee: coseno, la x; seno, la y; tangente, el cociente. Si falta una coordenada, la identidad da el cuadrado y el cuadrante elige el signo.

Otra pregunta pone el lado final sobre un eje. Ahí no hay decimales: las coordenadas son 0, 1 o $-1$. Confundir el eje horizontal con el vertical cambia seno por coseno y puede pedir una tangente que no existe. ^{2 3}

Resumen

• El círculo unitario tiene centro en el origen y radio 1.
• El coseno es la x del corte. El seno es la y.
• Sobre los ejes, esas coordenadas son 0, 1 o -1.
• La tangente es y entre x, y no existe si x es 0.
• La suma de los cuadrados de las dos coordenadas es 1.