Conectivas lógicas y tablas de verdad

¿Cuándo es verdadera cada conectiva?

Las conectivas, o juntores, modifican enunciados simples y arman uno compuesto. En la lógica de enunciados las principales son la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional. La negación es monaria: toma un enunciado. Las otras cuatro son binarias. El valor del compuesto depende del valor de las partes. Eso es la tabla de verdad. En Herder esas tablas salen como imagen. Aquí queda la condición que la prosa sí dice. Se escriben en el lenguaje formal de la ficha lenguaje natural y lenguaje formal. ¹

La negación traduce "no". Cambia la verdad por la falsedad y la falsedad por la verdad. Se escribe ¬ delante de la letra: ¬p. 0 y 1 se leen F y V. "No P" es falso cuando P es verdadero, y verdadero cuando P es falso. Si p es "hace sol" y eso es verdad, ¬p es falso. Si es falso que haga sol, ¬p es verdadero. ²

La conjunción vale por "y". El compuesto es verdadero solo si lo son los dos simples. Si no, es falso. Con "hace frío" y "hace viento", las dos tienen que darse. El otro ejemplo de la página junta a Cervantes y a Shakespeare: cae si falla una atribución. El signo de la "y" no quedó en el texto de esa página. En la del bicondicional, la "y" que junta dos condicionales aparece como ∧, en (p → q) ∧ (q → p). Estas fichas usan ∧ por ese uso. ^{3 6}

La disyunción de Herder es la "o" inclusiva. Se lee "P o Q o ambos". El símbolo de la página es una imagen, igual que el de la excluyente, así que estas fichas no le inventan un signo. Si p es "Ana es buena" y q es "Ana parece buena", "Ana es buena o lo parece" es verdad si es buena, si solo lo parece, o si las dos cosas. La excluyente se lee "P o Q, pero no ambos a la vez". El habla la prefiere: "culpable o inocente", "o vas primero tú o voy yo". La lógica prefiere la inclusiva. Si un ejercicio ya trae un signo y lo llama o inclusiva, léelo "P o Q o ambos", sin atribuirle a Herder ese dibujo. ⁴

El condicional no afirma un hecho suelto: una cosa sucede a condición de la otra. La forma es "si ..., entonces ...", en símbolos P → Q, también con ⊃. P es el antecedente. Q es el consecuente. El ejemplo es "si llueve, sacamos los paraguas". La implicación material es siempre verdadera si y solo si no ocurre que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Ese es el único caso falso. Herder dice que esta lectura no coincide con el habla. Si no llueve, la gente no da el condicional por verdadero: suele oír que entonces no hay paraguas. De ahí las paradojas de la implicación material. Un contrafáctico no entra en esta tabla. "Si Minerva fuera mujer, sería mortal" depende de algo más que la conectiva. ⁵

El bicondicional se simboliza ↔ y se lee "P si y solo si Q". La página abre diciendo que es verdadero solo cuando P y Q son ambos verdaderos, y falso en los demás casos. El ejemplo dice otra cosa. Con "eres feliz" y "amas", el "si y solo si" es verdad cuando las dos se dan y cuando no se da ninguna. Es falso si una sola es verdad. Estas fichas siguen el ejemplo: vale cuando las dos letras coinciden. También se lee "si p entonces q y si q entonces p", "condición necesaria y suficiente" y "p equivale a q". La fórmula (p → q) ∧ (q → p) es la que la página iguala en tabla con (p ↔ q). ⁶

Ideas clave

• Cinco conectivas. Negación (un enunciado), y luego conjunción, disyunción, condicional y bicondicional (dos). El valor del compuesto sale del valor de las partes. ¹
• Negación. ¬ delante de la letra. Verdad pasa a falsedad y falsedad a verdad. ²
• Conjunción. Verdadera solo si las dos partes lo son. Si una falla, el compuesto falla. El signo ∧ sale de la fórmula del bicondicional, no de un dibujo de la página de la "y". ³
• Disyunción. La lógica prefiere "P o Q o ambos". La excluyente, "no ambos", es la del habla. El signo de la página no se lee en el texto. ⁴
• Condicional. Falso solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Antecedente es lo del "si". Consecuente es lo del "entonces". ⁵
• Bicondicional. Por el ejemplo, verdadero si las dos coinciden (las dos verdaderas o las dos falsas) y falso si una sola es verdadera. Se lee también como los dos condicionales, uno en cada sentido. ⁶

Ejemplos resueltos

La llave del pasillo

p: "el patio está mojado". q: "la llave del pasillo gotea".

¬p voltea el dato del patio, como ¬ voltea "hace sol". p ∧ q solo vive si ves las dos cosas. Con una sola, o con ninguna, la "y" es falsa.

La o inclusiva admite patio mojado, llave goteando, o las dos. Cae solo si no pasa ninguna. Si la frase fuera al modo de "culpable o inocente", no aceptarías las dos juntas.

El único fallo del "si"

"Si el patio está mojado, entonces la llave gotea." El antecedente es el patio. El consecuente es la llave.

Mojado y llave seca: antecedente verdadero, consecuente falso. Ahí la implicación material es falsa. Mojado y goteo: verdadera. Patio seco, gotee o no la llave: la definición no lo marca falso, porque no se cumple "antecedente verdadero y consecuente falso". En el examen usa esa definición, no la costumbre de oír el si al revés.

"Si el patio estuviera en el piso 20, la llave no existiría" va en subjuntivo. Herder saca ese tipo de frase de la tabla. No le pongas las cuatro casillas.

Coinciden o no

"El patio está mojado si y solo si la llave gotea." Por el ejemplo de la página, es verdad si las dos pasan y si no pasa ninguna. Es falso si solo una pasa. La frase de apertura diría que las dos falsas dan falso. Eso es una "y", no el ejemplo. (p → q) ∧ (q → p) es la otra escritura que la página iguala con ↔.

Errores comunes

Tratar toda "o" como excluyente. "Culpable o inocente" sí empuja a una sola. "Ana es buena o lo parece" admite las dos, y Herder dice que la lógica prefiere ese sentido.

Creer que el condicional es falso en cuanto el antecedente es falso. La definición solo excluye antecedente verdadero con consecuente falso. El desacuerdo con el habla está nombrado: se llama paradoja de la implicación material. No lo resuelvas cambiando la definición a mitad del reactivo.

Copiar la primera frase del bicondicional y olvidar el ejemplo. Esa frase lo deja verdadero solo con las dos partes verdaderas. El ejemplo incluye el caso en que ninguna lo es. Estas fichas se quedan con el ejemplo y con la lectura "en los dos sentidos".

Inventar el dibujo de la disyunción. En la página el signo es una imagen. Puedes decir la lectura en palabras. Si el ejercicio ya imprimió un signo y lo llama o inclusiva, aplica "P o Q o ambos" a ese signo, sin decir que Herder lo dibujó así.

Cómo lo pregunta el examen

Te dan p verdadero y q falso. ¬p queda falso. p ∧ q queda falso. La o inclusiva sigue verdadera: basta una. p → q queda falso. p ↔ q queda falso, porque no coinciden.

Otra pide el único caso falso del condicional: antecedente verdadero y consecuente falso.

Otra arma o inclusiva, condicional y negación, y da tres letras. Resuelve la o, luego el no, y al final la flecha. La flecha cae solo si su antecedente quedó verdadero y su consecuente quedó falso. El signo de la o, si el ejercicio ya lo trae, se lee "una, la otra o ambas".

El bicondicional es verdadero cuando las dos letras son verdaderas y cuando las dos son falsas.

Resumen

• La negación voltea el valor y se escribe ¬ delante de la letra.
• La conjunción es verdadera solo cuando las dos partes lo son.
• La o de la lógica es inclusiva: una, la otra o las dos. La excluyente es la del habla.
• El condicional es falso solo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
• El bicondicional, por el ejemplo, es verdadero cuando las dos letras coinciden.