Espectros atómicos y modelo de Bohr

¿Por qué el hidrógeno no emite todos los colores?

La luz blanca del Sol, al pasar por un prisma, muestra rayas oscuras en lugares fijos del espectro continuo. Joseph von Fraunhofer midió sus longitudes de onda. Entre 1854 y 1861 Gustav Kirchhoff y Robert Bunsen vieron que, para cada elemento, el espectro de emisión de líneas coincide con el de absorción. El lugar de las rayas es el mismo. Cambia el modo de observarlas. ¹

En absorción, luz blanca cruza un gas frío. Faltan algunas longitudes de onda: se ven negras sobre el continuo. En emisión, un gas en un tubo de descarga brilla y el prisma solo deja unas rayas de color sobre fondo negro. Cada elemento tiene las suyas. El hierro no repite las del hidrógeno. Un átomo absorbe solo las longitudes que también puede emitir, y deja pasar el resto. ¹

El hidrógeno es el caso más simple. Al ojo se le ven cuatro rayas: roja de $656$ nm (la línea $H\text{-}\alpha$), aguamarina de $486$ nm, azul de $434$ nm y violeta de $410$ nm. Por debajo de $400$ nm hay más, en el ultravioleta, y la serie no se acaba. Cómo se ordenan las ondas por longitud está en La luz y el espectro electromagnético. ¹

Balmer, Rydberg y el hueco clásico

En 1885 Johann Balmer escribió las longitudes de esa serie visible:

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right),$$

con $R_H = 1{,}09737 \times 10^{7}\ \mathrm{m^{-1}}$ y $n = 3, 4, 5, 6$ para las cuatro rayas visibles. La fórmula de Rydberg junta todas las series:

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right).$$

Si $n_f = 1$, es la serie de Lyman. Si $n_f = 2$, la de Balmer. Si $n_f = 3$, la de Paschen. La fórmula acierta en el laboratorio, pero a principios del siglo XX nadie sabía por qué. ¹

El modelo nuclear de Rutherford, de 1911, deja al electrón lejos de un núcleo positivo casi puntual. La fuerza de Coulomb cae como $1/r^2$, igual que la gravedad, así que una órbita parece posible. El problema es clásico: una carga que se acelera radia. El electrón perdería energía y caería al núcleo. Además, ese movimiento continuo no produce rayas discretas. ¹

Los tres postulados de 1913

Niels Bohr, en 1913, propuso tres postulados.

1. El electrón negativo gira en una órbita circular centrada en el protón. No todas las órbitas clásicas están permitidas.
2. El momento angular está cuantizado: $L_n = n\hbar$, con $n = 1, 2, 3, \ldots$. En radios y rapidez, $m_e v_n r_n = n\hbar$.
3. El electrón puede saltar de una órbita de energía $E_n$ a otra de energía $E_m$. Si absorbe un fotón, sube. Si lo emite, baja. El salto es instantáneo y cumple $hf = |E_n - E_m|$.

El modelo es semiclásico: la órbita y la fuerza de Coulomb son de Newton, y la cuantización no. Con eso salen los niveles, la energía de ionización y el tamaño de las órbitas. No describe átomos con más de un electrón en órbita. La configuración de muchos electrones está en Configuración electrónica. ¹

Niveles y radio

La fuerza eléctrica hace de fuerza centrípeta. El radio de la órbita $n$ crece con $n^2$: la segunda es cuatro veces la primera, la tercera es nueve veces. El radio de la primera, el radio de Bohr, es

$$a_0 = 5{,}29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0{,}529\ \text{Å}.$$

La energía del electrón en la órbita $n$ es

$$E_n = -E_0 \frac{1}{n^2}, \qquad E_0 = 13{,}6\ \mathrm{eV}.$$

Solo valen $-13{,}6$, $-13{,}6/4$, $-13{,}6/9$, y así. El estado base es $n = 1$, con $E_1 = -13{,}6$ eV. Los demás son estados excitados. Al crecer $n$, $E_n$ se acerca a cero: el electrón deja de estar ligado. Para arrancarlo desde $n = 1$ hay que darle $13{,}6$ eV. Ese es el límite de ionización, y coincide con el valor experimental. ¹

Al bajar de $n$ a $m$ (con $n > m$) el fotón se lleva

$$hf = E_0 \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right).$$

Al dividir entre $hc$ sale la fórmula de Rydberg, y la constante calculada es $1{,}097 \times 10^{7}\ \mathrm{m^{-1}}$, la $R_H$ medida. Por eso cada elemento, con sus propios niveles, solo emite ciertas energías: las diferencias entre esos niveles. No emite todas las longitudes del visible, y las rayas no salen de los neutrones del núcleo. ¹

Ideas clave

• Emisión y absorción de un elemento caen en las mismas longitudes de onda. ¹
• Balmer y Rydberg describen las rayas. Bohr, en 1913, explica por qué con tres postulados. ¹
• $E_n = -13{,}6\ \mathrm{eV}/n^2$. El estado base es $-13{,}6$ eV y la ionización desde ahí pide $13{,}6$ eV. ¹
• El fotón cumple $hf = |E_n - E_m|$. Bajar de nivel emite. Subir absorbe. ¹
• El radio de Bohr es $5{,}29 \times 10^{-11}$ m. El modelo no cubre átomos con varios electrones. ¹

Ejemplos resueltos

Un salto que no es el del examen

$E_n = -13{,}6 / n^2$, en eV. Para $n = 4$,

$$E_4 = -13{,}6 / 16 = -0{,}850\ \mathrm{eV}.$$

Para $n = 2$,

$$E_2 = -13{,}6 / 4 = -3{,}40\ \mathrm{eV}.$$

Si el electrón pasa de $n = 4$ a $n = 2$, baja de energía. Emite un fotón de

$$|-0{,}850 - (-3{,}40)| = 2{,}55\ \mathrm{eV}.$$

No absorbe: absorbe cuando sube. No se suman $0{,}850$ y $3{,}40$. La energía del fotón es la diferencia. ¹

La raya más larga de Balmer, sin copiar el límite corto

En Balmer, $n_f = 2$. La longitud más larga sale con $n_i = 3$:

$$\frac{1}{\lambda} = (1{,}09737 \times 10^{7}\ \mathrm{m^{-1}})\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right).$$

$\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{5}{36}$, así que

$$\lambda = \frac{36}{5 \times 1{,}09737 \times 10^{7}} = 6{,}56 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 656\ \mathrm{nm}.$$

Es la raya roja. El libro da $656{,}3$ nm con más cifras. ¹

Errores comunes

• Decir que el electrón emite porque va más rápido en la órbita, o porque sale del núcleo. Emite al bajar de una órbita permitida a otra.
• Sumar las energías de los dos niveles, o tomar la de uno solo. El fotón lleva $|E_f - E_i|$.
• Creer que el gas emite todo el arcoíris. Emite las diferencias de sus niveles.
• Usar Bohr para cualquier átomo con muchos electrones. El libro lo limita al hidrógeno y a iones de un electrón con $Z$ bajo.

Cómo lo pregunta el examen

Pregunta cuándo hay luz en el modelo de Bohr: al pasar el electrón de una órbita de mayor energía a una de menor. Pregunta por qué el espectro de líneas identifica al elemento: los niveles son distintos y solo se emiten ciertas energías. Y, con una tabla de niveles, pide la energía del fotón como el valor absoluto de la diferencia, y si el salto hacia abajo emite o absorbe.

Resumen

• Cada elemento absorbe y emite en las mismas longitudes de onda, y solo en esas.
• Bohr, en 1913, cuantiza el momento angular y el salto: $hf = |E_n - E_m|$.
• En el hidrógeno, $E_n = -13{,}6\ \mathrm{eV}/n^2$ y el radio mínimo es $5{,}29 \times 10^{-11}$ m.
• Bajar de nivel emite. Subir absorbe. La energía del fotón es la diferencia, no la suma.
• El modelo recupera la constante de Rydberg y no cubre átomos con varios electrones.