Espejos y lentes, y cómo se forma la imagen

¿Dónde se forma la imagen?

En un espejo plano la imagen tiene el mismo tamaño que el objeto, queda detrás del espejo y está derecha. Dos rayos que salen de un punto rebotan con la ley de la reflexión. Si se prolongan hacia atrás, se cruzan en un punto detrás del espejo: ahí está la imagen. Los triángulos que forma esa construcción son congruentes, así que la distancia del objeto al espejo es la misma que la de la imagen al espejo. Como están en direcciones opuestas, $d_o = -d_i$. Esa imagen es virtual: no se puede proyectar en una pantalla, porque los rayos no viajan detrás del espejo. Una imagen real sí se proyecta, porque los rayos sí pasan por ella. Las dos se ven. La diferencia es la pantalla. El rebote y la normal están en reflexión y refracción. ¹

Un espejo esférico es un casquete de esfera. Si se platea por dentro, es cóncavo. Si se platea por fuera, es convexo. En la aproximación de ángulo pequeño, la distancia focal de un cóncavo es la mitad del radio: $f = R/2$. Los rayos que llegan paralelos al eje se reflejan pasando por ese foco. En un convexo, esos rayos parecen salir de un foco detrás del espejo, y ese foco es virtual. La ecuación de los espejos, válida en esa aproximación, es

$$\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$$

El foco es positivo en un cóncavo y negativo en un convexo. $d_i$ es positiva si la imagen es real y negativa si es virtual. El aumento es $m = h_i/h_o = -d_i/d_o$. Si $m$ es positivo, la imagen está derecha. Si es negativo, está invertida. Si el valor absoluto de $m$ es mayor que 1, la imagen es más grande que el objeto. Si es menor, es más chica. Un objeto entre el cóncavo y su foco da una imagen virtual, derecha y más grande. En el convexo, la imagen queda entre el foco y el espejo: derecha, virtual y más chica. ²

Una lente convergente es más gruesa en el centro. Los rayos paralelos al eje se juntan en el foco del otro lado. Una divergente es más delgada en el centro y esos rayos salen como si vinieran del foco del mismo lado por donde entraron. En la aproximación de lente delgada, el rayo que pasa por el centro no se desvía. La ecuación tiene la misma forma que la de los espejos:

$$\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$$

Aquí $d_i$ es positiva cuando la imagen queda del lado opuesto al objeto, y esa imagen es real. Si queda del mismo lado, $d_i$ es negativa y la imagen es virtual. El foco es positivo en una convergente y negativo en una divergente. El aumento es otra vez $m = h_i/h_o = -d_i/d_o$. Con una convergente, un objeto más lejos que el foco da imagen real, invertida, del otro lado. Un objeto más cerca que el foco da imagen virtual y derecha. ³

El ojo forma una imagen real sobre la retina. La córnea y el cristalino se pueden tratar como una sola lente delgada convergente, y la distancia a la retina no cambia: el cristalino ajusta su foco. En la miopía se ven bien los objetos cercanos y mal los lejanos. El ojo junta de más los rayos casi paralelos de un objeto lejano, y se cruzan antes de la retina. La corrección es una lente divergente delante del ojo, de foco negativo, más delgada en el centro. En la hipermetropía pasa lo contrario con lo cercano: el ojo no junta bastante y la imagen de un objeto próximo no cae sobre la retina. ⁴

Ideas clave

• Plano. La imagen está detrás, a la misma distancia, derecha y del mismo tamaño. Es virtual. ¹
• Signo del espejo. Foco positivo si es cóncavo, negativo si es convexo. $d_i$ positiva si la imagen es real. ²
• Ecuación. $\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$, y $f = R/2$ en el cóncavo de ángulo pequeño. ²
• Lente. La misma ecuación. Foco positivo si converge, negativo si diverge. ³
• Aumento. $m = -d_i/d_o$. Positivo, derecha. Negativo, invertida. ^{2 3}
• Miopía. Los rayos de un objeto lejano se cruzan antes de la retina. Se corrige con lente divergente. ⁴

Ejemplos resueltos

A 80 cm de un espejo plano

Te paras a 80 cm de un espejo plano. ¿A qué distancia de ti está tu imagen?

1. La imagen queda detrás, y $d_o = -d_i$. Con $d_o = 80$ cm, la imagen está a 80 cm del espejo, del otro lado. ¹
2. De ti a la imagen hay $80 + 80 = 160$ cm.
3. Es virtual, derecha y del mismo tamaño. No se proyecta en una pantalla puesta detrás del espejo. ¹
4. Si te acercas, las dos distancias al espejo siguen iguales entre sí y la distancia de ti a la imagen se acorta el doble.

Espejo cóncavo

Un espejo cóncavo tiene $f = 12$ cm. El objeto está a 36 cm. ¿Dónde queda la imagen y cómo es?

1. El foco de un cóncavo es positivo. ²
2. $\frac{1}{36} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{12}$. Entonces $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{12} - \frac{1}{36} = \frac{1}{18}$, y $d_i = 18$ cm.
3. $d_i$ positiva: imagen real, del lado de la reflexión. $m = -18/36 = -1/2$: invertida y de la mitad del tamaño. ²
4. 18 cm está entre el foco (12 cm) y el centro de curvatura (24 cm), que es lo que el libro describe para un objeto más allá del centro: real, invertida y más chica.

Lente convergente con el objeto cerca

Una lente convergente tiene $f = 20$ cm. El objeto está a 8 cm. ¿Cómo es la imagen?

1. El foco es positivo. El objeto está más cerca que el foco. ³
2. $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{20} - \frac{1}{8} = \frac{2}{40} - \frac{5}{40} = -\frac{3}{40}$, así que $d_i = -\frac{40}{3}$ cm.
3. La distancia es negativa: imagen virtual, del mismo lado que el objeto. ³
4. $m = -\left(-\frac{40}{3}\right)/8 = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}$. Positivo y mayor que 1: derecha y más grande. ³

Errores comunes

Sumas las distancias de un espejo plano y dices que la imagen está a 80 cm de ti. Esos 80 cm son hasta el espejo. La imagen está otros 80 cm detrás, así que de ti a ella hay el doble. ¹

Pones el foco de un convexo o de una divergente en positivo. En este libro el convexo y la divergente tienen foco negativo. Con el signo volteado, $d_i$ sale del lado que no es y la imagen se clasifica al revés. ^{2 3}

Crees que toda lente con un objeto real da imagen real. Solo la convergente, y solo si el objeto está más lejos que el foco. Más cerca que el foco, la imagen es virtual y derecha. Una divergente, con objeto real, da $d_i$ negativa: virtual, derecha y más chica. ³

Cómo lo pregunta el examen

En el espejo plano preguntan la distancia de ti a la imagen, no solo la del espejo a la imagen. Son iguales cada tramo, y el total es el doble. La imagen es virtual y del mismo tamaño. ¹

En un cóncavo o en una convergente te dan la distancia del objeto y el foco, o el radio. Si dan el radio de un cóncavo, $f = R/2$. Sustituye en la ecuación, mira el signo de $d_i$ y el de $m$. Real e invertida cuando $d_i$ y el aumento salen con los signos de una imagen del otro lado. Virtual y derecha cuando el objeto cae entre el espejo o la lente y el foco. ^{2 3}

Una divergente, o un convexo, con objeto real, no da imagen real. La miopía se nombra aparte: la imagen de lo lejano cae antes de la retina y el lente que la corre es divergente. ^{3 4}

Resumen

• En un espejo plano, $d_o = -d_i$: misma distancia detrás, imagen virtual y derecha.
• En espejos y lentes delgadas, $\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$.
• Foco positivo: espejo cóncavo y lente convergente. Foco negativo: convexo y divergente.
• $d_i$ positiva es imagen real. $m = -d_i/d_o$ dice si está derecha y si crece.
• La miopía junta los rayos antes de la retina y se corrige con una lente divergente.