Decaimiento radiactivo y vida media

¿Cómo baja la cantidad de núcleos y qué partícula sale?

Una muestra radiactiva no se vacía de golpe ni baja en partes iguales. El número de núcleos que todavía no han decaído sigue

$$N = N_0 e^{-\lambda t},$$

con $N_0$ el número al empezar y $\lambda$ la constante de decaimiento, propia de ese nucleido. La actividad, los decaimientos por segundo, es $A = \lambda N$. Por eso la actividad baja con el mismo ritmo que $N$: cuando quedan menos núcleos, hay menos decaimientos por segundo. Quién halló estos rayos y con qué aparatos se cuentan está en La radiactividad: descubrimiento y detectores. ¹

Vida media, vida promedio y unidades

La vida media $T_{1/2}$ es el tiempo en el que $N$ y $A$ quedan en la mitad. No es el tiempo en el que la muestra se acaba. La relación con la constante es

$$\lambda = \frac{0{,}693}{T_{1/2}}.$$

La vida promedio, el tiempo medio que un núcleo espera antes de decaer, es $1/\lambda$. Es más larga que la vida media: $1/\lambda = T_{1/2}/0{,}693$. Confundir las dos cambia el resultado por ese factor. ¹

Si pasan $n$ vidas medias, la exponencial se vuelve una división entre potencias de dos:

$$N = \frac{N_0}{2^{n}}, \qquad n = \frac{t}{T_{1/2}}.$$

Tras una vida media queda $1/2$. Tras dos, $1/4$. Tras tres, $1/8$. El exponente no es una resta lineal: no se quita la misma masa en cada intervalo igual. La exponencial y el logaritmo que despejan $t$ o $\lambda$ están en Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. ¹

La unidad del SI de actividad es el becquerel: $1\ \mathrm{Bq} = 1$ decaimiento por segundo. El curie, más antiguo, vale

$$1\ \mathrm{Ci} = 3{,}70 \times 10^{10}\ \mathrm{Bq}.$$

Ese curie es la actividad de $1$ g de radio-226. Un número grande de becquereles puede ser una fracción pequeña de curie, porque cada curie son decenas de miles de millones de decaimientos por segundo. ¹

Alfa, beta y gamma

La partícula alfa es un núcleo de helio-4: dos protones y dos neutrones. Apenas atraviesa una hoja de papel. Al salir, el núcleo padre pierde 2 en el número atómico $Z$ y 4 en el número de masa $A$. El hijo es otro elemento. Cómo se anota ese par de números está en la ficha Isótopos y masa atómica. ²

En la beta negativa un neutrón del núcleo se convierte en protón, y salen un electrón y un antineutrino. $A$ no cambia, porque el nucleón sigue ahí, ahora como protón. $Z$ sube en 1. En la beta positiva ocurre lo contrario en la carga: $Z$ baja en 1 y $A$ se queda igual. La beta atraviesa aluminio de unos $3$ mm. ²

El gamma es un fotón. El núcleo queda con el mismo $Z$ y el mismo $A$, y suelta energía. Atraviesa plomo de $2$ cm o más. No es una alfa "más fuerte" ni una beta sin carga: no arrastra nucleones. ²

Hay tres series largas de decaimientos sucesivos, las del torio-232, del uranio-238 y del neptunio-237. Cada paso es una alfa o una beta, a veces con gamma, hasta un núcleo estable. Estas fichas no recorren los hijos intermedios de esas series. ²

Ideas clave

• $N = N_0 e^{-\lambda t}$ y $A = \lambda N$. Actividad y cantidad bajan juntas. ¹
• En cada vida media queda la mitad. $\lambda = 0{,}693/T_{1/2}$ y la vida promedio es $1/\lambda$. ¹
• $1\ \mathrm{Bq}$ es un decaimiento por segundo. $1\ \mathrm{Ci} = 3{,}70 \times 10^{10}\ \mathrm{Bq}$, la actividad de $1$ g de radio-226. ¹
• Alfa: $Z$ baja 2 y $A$ baja 4. Beta negativa: $Z$ sube 1 y $A$ igual. Gamma: $Z$ y $A$ iguales. ²
• La alfa apenas pasa el papel, la beta unos $3$ mm de aluminio y el gamma $2$ cm o más de plomo. ²

Ejemplos resueltos

Tres vidas medias, con otros datos

Una muestra tiene vida media de $6{,}0$ h y al inicio hay $96$ g del nucleido. Preguntan cuánto queda a las $18$ h.

$$n = 18 / 6{,}0 = 3.$$

$$N = 96 / 2^{3} = 96 / 8 = 12\ \mathrm{g}.$$

No es $96/3 = 32$ g: no se reparte el tiempo en tercios iguales de masa. Tampoco es $96/2 = 48$ g, porque $18$ h no son una sola vida media. Y no es cero: tras tres mitades todavía queda la octava parte. ¹

De becquerel a curie, sin usar un gramo de radio

Otra muestra tiene vida media $T_{1/2} = 6930$ s y en ese instante hay $N = 3{,}70 \times 10^{14}$ núcleos.

$$\lambda = 0{,}693 / 6930 = 1{,}00 \times 10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$

$$A = \lambda N = (1{,}00 \times 10^{-4})(3{,}70 \times 10^{14}) = 3{,}70 \times 10^{10}\ \mathrm{Bq}.$$

En curies,

$$A = \frac{3{,}70 \times 10^{10}}{3{,}70 \times 10^{10}} = 1{,}00\ \mathrm{Ci}.$$

El $1$ g de radio-226 define el curie. Esta cuenta usa otro $N$ y otra vida media, y da la misma actividad solo porque $\lambda N$ coincidió con $3{,}70 \times 10^{10}$. ¹

Un núcleo sin nombre

Un núcleo tiene $Z = 88$ y $A = 226$, y emite una alfa. El hijo queda con

$$Z = 88 - 2 = 86, \qquad A = 226 - 4 = 222.$$

Si ese hijo emite después una beta negativa, $A$ sigue en $222$ y $Z$ pasa a $87$. Un gamma en cualquiera de los dos no mueve $Z$ ni $A$. Invertir el 2 y el 4, o tratar la beta como si restara 4, cambia el elemento o el isótopo. ²

Errores comunes

• Restar la misma masa en cada intervalo. La baja es a la mitad, no lineal.
• Tomar como vida media el tiempo en que queda la cuarta parte. Ese tiempo son dos vidas medias.
• Creer que la vida promedio es $0{,}693/\lambda$. Ese cociente es la vida media. La promedio es $1/\lambda$.
• Decir que la beta baja $A$ en 1, o que el gamma convierte el núcleo en otro elemento.

Cómo lo pregunta el examen

Pide la masa que queda tras varias vidas medias: cuentas cuántas caben en el tiempo y divides entre $2^{n}$. En una gráfica, la vida media es el tiempo en que la masa pasa de su valor inicial a la mitad, y más adelante sigues dividiendo entre dos. En el tipo de emisión, una alfa resta 2 a $Z$ y 4 a $A$, una beta negativa suma 1 a $Z$ con $A$ fijo, y un gamma no cambia ninguno de los dos.

Resumen

• La cantidad y la actividad siguen $N = N_0 e^{-\lambda t}$ y $A = \lambda N$.
• Cada vida media deja la mitad. $\lambda = 0{,}693/T_{1/2}$ y la vida promedio es $1/\lambda$.
• El becquerel es un decaimiento por segundo. Un curie son $3{,}70 \times 10^{10}$ Bq.
• Alfa: $Z-2$ y $A-4$. Beta negativa: $Z+1$ y el mismo $A$. Gamma: el mismo núcleo, más un fotón.
• El papel frena casi toda la alfa. El aluminio de unos $3$ mm frena la beta. El gamma pide centímetros de plomo.