Pendiente de una recta

¿Cuánto sube la recta por cada paso a la derecha?

La pendiente mide la inclinación. En una gráfica se lee como subida entre avance: $m = \frac{\text{subida}}{\text{avance}}$. Con coordenadas, la subida es la resta de ordenadas y el avance es la resta de abscisas. Esa misma $m$ entra después en la ecuación de la recta. ¹

Si al ir hacia la derecha la recta sube, el cociente es positivo. Si baja, es negativo. Una horizontal no sube ni baja: el numerador es cero, $m = 0$ y la ecuación es $y = b$. Una vertical no avanza en horizontal: el denominador se anula, no hay un número $m$ y la ecuación es $x = a$. Desde un punto ya marcado, la fracción de $m$ dice cuánto subir y cuánto correr para marcar otro punto de la misma recta. ^{1 2}

Ideas clave

• Definición con dos puntos. Entre $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, siempre que el denominador no sea cero. ¹
• Subida y avance. La subida es el cambio vertical. El avance es el cambio horizontal. La pendiente es su cociente. ¹
• El orden se respeta en las dos restas. Si empiezas por el segundo punto, restas las dos coordenadas de ese punto primero. No mezcles el orden de una resta con el de la otra. ¹
• Horizontal. Si las ordenadas son iguales, el numerador es 0 y $m = 0$. Una ecuación $y = b$ es una recta horizontal. ^{1 2}
• Vertical. Si las abscisas son iguales, el denominador es 0 y el cociente no es un número real. Una ecuación $x = a$ es una recta vertical. ²
• Cómo se grafica. Desde un punto conocido, cuentas la subida y el avance que marca $m$ y marcas el segundo punto. ¹

Ejemplos resueltos

Una pendiente de 2

Halla la pendiente de la recta que pasa por $(1, 2)$ y $(4, 8)$.

1. $m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$. ¹
2. Al revés: $m = \frac{2 - 8}{1 - 4} = \frac{-6}{-3} = 2$. El orden cambió en las dos restas y el cociente no. ¹
3. Si restas $8 - 2$ arriba y $1 - 4$ abajo, obtienes $\frac{6}{-3} = -2$. Ese signo está mal porque mezclaste los puntos.

Numerador cero

Halla la pendiente entre $(-1, 3)$ y $(5, 3)$.

1. $m = \frac{3 - 3}{5 - (-1)} = \frac{0}{6} = 0$. ¹
2. La recta es horizontal. Su ecuación es $y = 3$. ²
3. Pendiente 0 no es lo mismo que "no hay pendiente". El cero es un número. La vertical es el caso que no da número.

Denominador cero

¿Qué pendiente tienen $(2, -1)$ y $(2, 7)$?

1. El denominador sería $2 - 2 = 0$. El cociente no es un número real. ¹
2. Los dos puntos comparten abscisa, así que la recta es $x = 2$, vertical. ²
3. No escribas $m = 0$. El cero aparece cuando la resta de arriba es cero, no cuando la de abajo es cero.

Errores comunes

Poner la resta de las abscisas en el numerador. La pendiente es cambio de $y$ entre cambio de $x$. Al revés sale el recíproco. ¹

Cambiar el orden en una sola resta. Las dos restas tienen que empezar por el mismo punto. ¹

Llamar pendiente 0 a una recta vertical. Ahí el denominador es cero. La horizontal sí tiene pendiente 0. ²

Olvidar el signo al contar en la gráfica. Una subida negativa es una bajada. El cociente la registra con el menos. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Te dan dos pares y piden la inclinación. Resta ordenadas, resta abscisas en el mismo orden y divide. Simplifica la fracción. ¹

Si las ordenadas coinciden, la respuesta es 0 y la recta es horizontal. Si las abscisas coinciden, no hay un número $m$ y la recta es vertical, de la forma $x = a$. ²

Una gráfica pide contar cuadros: los verticales son la subida y los horizontales el avance. El cociente de esos conteos es la pendiente. ¹

Resumen

• $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ si $x_2 \neq x_1$.
• El numerador es el cambio vertical y el denominador el horizontal.
• Las dos restas usan el mismo orden de puntos.
• Ordenadas iguales dan pendiente 0 y una recta horizontal.
• Abscisas iguales no dan un número real: la recta es vertical.