Medidas de tendencia central y de dispersión

¿Dónde está el centro y qué tan abierto está el grupo?

Para el peso medio de $50$ personas, el libro suma los $50$ pesos y divide entre $50$. Esa es la media, también llamada promedio: las dos palabras se usan una por la otra. Si los datos son $x_1, \ldots, x_n$,

$$\bar{x} = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}.$$

La mediana de esos pesos se obtiene al ordenar los datos y tomar el número que parte el grupo en dos mitades. Si hay un número impar de datos, es el valor del centro. Si hay un número par, la mediana es los dos valores del centro sumados y divididos entre dos, ya con la lista ordenada. La mediana suele ser mejor medida del centro cuando hay valores extremos, porque no la jalan los números precisos de esos atípicos. La media es la medida del centro más común, y sí se deja jalar. ¹

La moda es el valor que más se repite. Puede haber más de una, si varios valores empatan en la frecuencia más alta. Un conjunto con dos modas se llama bimodal. En un ejemplo del libro, la calificación que más se repite en un grupo de $20$ exámenes es $72$, cinco veces, y esa es la moda. No copies esa lista: con tus datos, cuenta. La frecuencia de cada valor, antes de declarar la moda, está en la frecuencia de cada dato. ²

Los cuartiles son percentiles particulares. $Q_1$ es el percentil $25$ y $Q_3$ es el percentil $75$. La mediana $M$ es el segundo cuartil y también el percentil $50$. Los datos tienen que estar ordenados de menor a mayor. Los cuartiles parten esos datos ordenados en cuartos. Un percentil $90$ en un examen no significa, por sí solo, que la calificación haya sido $90$ de $100$. ³

Qué tan lejos de la media

La desviación típica es un número que mide la distancia entre los valores y su media. Sirve para decir si un dato está cerca o lejos del centro. Es siempre positiva, o cero. Es pequeña cuando los datos se concentran cerca de la media y hay poca dispersión. Es más grande cuando los datos se alejan y hay más variación. ⁴

La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones. En una población, cada desviación es $x - \mu$, la varianza se llama $\sigma^{2}$ y se divide entre $N$, el número de elementos de esa población. La desviación típica de la población, $\sigma$, es la raíz cuadrada de $\sigma^{2}$. En una muestra, las desviaciones son $x - \bar{x}$, la varianza es $s^{2}$ y se divide entre $n - 1$, uno menos que el tamaño de la muestra. $s$ es la raíz de $s^{2}$. No uses el mismo divisor para las dos: el censo de toda la población divide entre $N$, y la muestra entre $n - 1$. ⁴

Ideas clave

• Media. Suma de los datos entre cuántos son. Un extremo la mueve. ¹
• Mediana. Lista ordenada. En un total impar, el dato del centro. En un total par, el promedio de los dos del centro. ¹
• Moda. El valor más frecuente. Dos modas empatadas: bimodal. ²
• Cuartiles. $Q_1$ es el percentil $25$, la mediana es el $50$ y $Q_3$ es el $75$. ³
• Dispersión. La varianza promedia los cuadrados de las desviaciones, entre $N$ o entre $n - 1$. La desviación típica es su raíz, y no es negativa. ⁴

Ejemplos resueltos

Cinco números

Los datos son $2, 5, 5, 9, 14$. Halla la media, la mediana y la moda.

1. La suma es $2 + 5 + 5 + 9 + 14 = 35$. La media es $\tfrac{35}{5} = 7$. ¹
2. Ya están ordenados y hay cinco, un impar. La mediana es el tercero: $5$.
3. El $5$ aparece dos veces y los demás una. La moda es $5$. ²
4. Media $7$, mediana $5$. El $14$ jaló la media y no jaló la mediana.

Población de cuatro valores

$2, 4, 6, 8$ son toda la población, no una muestra. Halla $\mu$, la varianza y $\sigma$.

1. $\mu = \tfrac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5$. ¹
2. Desviaciones: $2 - 5 = -3$, $4 - 5 = -1$, $6 - 5 = 1$, $8 - 5 = 3$. Cuadrados: $9, 1, 1, 9$. Suma $20$.
3. Población: se divide entre $N = 4$. Varianza $\sigma^{2} = \tfrac{20}{4} = 5$. $\sigma = \sqrt{5}$. ⁴
4. Dividir entre $3$ sería el divisor de una muestra. Aquí el enunciado dijo que son todos.

Muestra, no censo

Los mismos $2, 4, 6, 8$ son ahora una muestra. ¿Qué divisor usa la varianza?

1. El divisor de la muestra es $n - 1 = 3$, no $4$. ⁴
2. La suma de cuadrados sigue en $20$, así que $s^{2} = \tfrac{20}{3}$ y $s = \sqrt{\tfrac{20}{3}}$.
3. $\sigma$ y $s$ no son intercambiables. Cambia el divisor y cambia la raíz.

Errores comunes

• No ordenar antes de la mediana. El centro de la lista desordenada no es la mediana. ¹
• Promediar los dos del centro cuando el total de datos es impar. En el impar tomas el único del centro. ¹
• Dividir la varianza de una muestra entre $n$. La muestra usa $n - 1$. La población usa $N$. ⁴
• Reportar una desviación típica negativa. Puede ser cero o positiva. ⁴

Cómo lo pregunta el examen

Una lista pide media, mediana y moda. Ordenas para la mediana, cuentas repeticiones para la moda y sumas para la media. Si el total es par, promedias los dos centrales. Si hay un dato muy alto, espera que la media quede por encima de la mediana. La dispersión pide la raíz de la varianza: desviaciones respecto de la media, al cuadrado, promedio con $N$ si es toda la población y con $n - 1$ si es muestra. Con $2, 5, 5, 9, 14$ la media es $7$, y la mediana y la moda son $5$. Con $2, 4, 6, 8$ como población, $\sigma = \sqrt{5}$. ^{1 4}

Resumen

• La media es la suma entre el número de datos. ¹
• La mediana parte la lista ordenada. En un total par, promedia los dos del centro. ¹
• La moda es el valor más frecuente. ²
• $Q_1$, la mediana y $Q_3$ son los percentiles $25$, $50$ y $75$. ³
• La desviación típica es la raíz de la varianza, nunca negativa. La población divide entre $N$ y la muestra entre $n - 1$. ⁴