--- title: "Teorema del residuo y del factor · Quedé" description: "Cómo hallar el residuo de dividir P(x) entre x - a evaluando en a, y cuándo ese resultado prueba que el binomio es factor." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/teorema-del-residuo" updated: "2026-10-02" --- # Teorema del residuo y del factor Matemáticas [Productos notables y factorización](https://quede.app/materias/matematicas/productos-notables-factorizacion) Si divides un polinomio P(x) entre x - a, el residuo es el número P(a). Y x - a es factor exactamente cuando esa evaluación da cero.[1](#fuente-res-teo) Actualizado el 2 de octubre de 2026 4 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Operaciones con polinomios Cómo se juntan términos semejantes, cómo se multiplican polinomios y cómo se divide un polinomio entre un monomio o un binomio. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/operaciones-con-polinomios) ## ¿Qué dice el teorema del residuo? Dividir polinomios se parece a dividir enteros. Precálculo escribe el algoritmo así: el dividendo es el cociente por el divisor, más un residuo. El residuo es cero o tiene grado menor que el divisor. Si el residuo es cero, el divisor parte exacto y es un factor. [2](#fuente-res-div) Cuando el divisor es el binomio $x - c$, la división sintética usa solo los coeficientes y deja el residuo en la última casilla. Abramson saca de ahí el atajo. Si el divisor es $x - a$, el residuo es una constante. Al evaluar la igualdad en $x = a$, el término con el divisor se anula, y esa constante es $P(a)$. El teorema del residuo queda en una línea: el residuo de dividir $P(x)$ entre $x - a$ es $P(a)$. [1](#fuente-res-teo) El teorema del factor es el caso en que ese número es cero. $a$ es un cero de $P$ si y solo si $x - a$ es un factor de $P$. [1](#fuente-res-teo) Para un polinomio de grado 3, un factor lineal deja un cociente de grado 2, y ese cociente a veces se sigue factorizando con lo de [factorización](https://quede.app/aprende/matematicas/factorizacion). Ojo con el signo del binomio. El teorema habla de $x - a$, no de "el número que está escrito junto a la $x$". Si el divisor es $x + 1$, reescríbelo como $x - (-1)$. Entonces $a = -1$ y el residuo es $P(-1)$. Si evalúas en $+1$, estás dividiendo entre $x - 1$, que es otro binomio. Para saber si varios binomios son factores, no hace falta la división de cada uno. Evalúas $P$ en cada candidato. Los que den cero sí lo son. Los que den otro número, no. El examen usa justo esa lista. ## Ideas clave - **Residuo.** Dividir $P(x)$ entre $x - a$ deja residuo $P(a)$. No hace falta el cociente si solo piden ese número. [1](#fuente-res-teo) - **Factor.** $x - a$ es factor si y solo si $P(a) = 0$. Un residuo distinto de cero descarta el factor. - **El signo.** $x + a$ corresponde al valor $-a$. $x - a$ corresponde al valor $+a$. - **La $k$ que falta.** Si $x - a$ debe ser factor, planteas $P(a) = 0$ y despejas el coeficiente desconocido. - **Grado.** El divisor lineal deja residuo constante. Un divisor de grado 2 puede dejar residuo de grado 1, y ya no basta un solo número. [2](#fuente-res-div) ## Ejemplos resueltos ### Residuo sin dividir Halla el residuo de dividir $P(x) = x^{3} + x - 4$ entre $x - 1$. 1. El divisor es $x - 1$, así que $a = 1$. 2. $P(1) = 1 + 1 - 4 = -2$. 3. El residuo es $-2$. La división larga daría cociente $x^{2} + x + 2$ y esa misma constante al final. Para la pregunta, el cociente sobra. ### El coeficiente que hace factor ¿Qué valor de $k$ hace que $x - 3$ sea factor de $P(x) = x^{3} - 4x^{2} + kx + 6$? 1. Debe cumplirse $P(3) = 0$. 2. $P(3) = 27 - 4 \cdot 9 + 3k + 6 = 27 - 36 + 3k + 6$. 3. $27 - 36 + 6 = -3$, así que $-3 + 3k = 0$. 4. $k = 1$. Comprueba: $P(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$. ### Tres candidatos ¿Cuáles de estos binomios son factores de $Q(x) = x^{3} + x^{2} - 4x - 4$? I. $x - 1$ II. $x + 2$ III. $x - 2$ 1. I pide $Q(1) = 1 + 1 - 4 - 4 = -6$. No es cero. I no es factor. 2. II es $x - (-2)$. $Q(-2) = -8 + 4 + 8 - 4 = 0$. II sí es factor. 3. III pide $Q(2) = 8 + 4 - 8 - 4 = 0$. III también. 4. Son factores II y III. El grado es 3, así que hay un tercer factor lineal. No te lo pidieron. Con II y III ya armas $(x + 2)(x - 2) = x^{2} - 4$, y el cociente que falta es $x + 1$, porque $Q(-1) = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$. No hacía falta para contestar, y sirve de cierre. ## Errores comunes Si el divisor es $x + 1$ y sustituyes $1$, el residuo que obtienes es el de otra división. Escribe el binomio como $x - a$ antes de tocar la calculadora. Si $P(a) = 0$ y concluyes que el residuo es $a$, cambiaste el resultado por el valor donde evaluaste. El residuo es 0. Si despejas $k$ y no sustituyes de nuevo, un signo en $a^{2}$ o en $a^{3}$ se te puede ir. La segunda evaluación es una resta de enteros. Hazla. Si marcas como factor un binomio que dio 6 o $-2$, estás usando otra regla. Solo el cero cuenta. Si el polinomio trae un hueco, como $x^{3} + 1$ sin $x^{2}$ ni $x$, esos coeficientes son 0 al sustituir. No los inventes como 1. ## Cómo lo pregunta el examen Hay tres formas. Una pide el residuo de un cúbico entre un binomio: evalúas y comparas con las cuatro constantes. Otra pide la $k$ que vuelve factor a un binomio dado: planteas la evaluación en cero y despejas. La tercera es de selección, con romanos: pruebas cada binomio y armas la combinación que sí da cero. En los romanos, el distractor deja fuera un factor que sí evaluaba en cero, o mete uno que no. Calcula los cuatro valores, aunque el primero ya haya salido cero. No se reparten "el positivo sí y el negativo no" por intuición. Cuando el divisor no es de la forma $x - a$, este atajo no aplica tal cual. Un coeficiente principal distinto de 1 en el divisor cambia la división. Los reactivos de esta habilidad usan $x - a$ o $x + a$. ## Resumen - El residuo de $P(x)$ entre $x - a$ es $P(a)$. - $x - a$ es factor solo cuando $P(a) = 0$. - $x + a$ se evalúa en $-a$. - Para hallar $k$, igualas esa evaluación a cero y despejas. - En una lista de binomios, cada uno se prueba solo. El cero decide. ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Calcular el residuo de una división con el teorema del residuo (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/productos-notables-factorizacion/teorema-residuo-factor) ## Dudas comunes ### ¿Entre x + 2 se evalúa en 2? No. x + 2 es x - (-2). El número que sustituyes es -2. ### ¿Un residuo distinto de cero alcanza para decir que no es factor? Sí. Si P(a) no es 0, x - a no divide exacto. El cociente dejaría ese residuo. ### ¿Hay que hacer la división larga para el residuo? No, si el divisor es lineal de la forma x - a. Basta sustituir a en el polinomio. ## Se entiende mejor junto con - [Factorización de expresiones algebraicas Cómo pasar de un polinomio a sus factores: común, trinomio, diferencia de cuadrados, cubos y agrupación de cuatro términos. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/factorizacion) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Jay Abramson. [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/5-5-zeros-of-polynomial-functions) . OpenStax, Rice University , 2021. Cap. 5.5, Zeros of polynomial functions 2. Jay Abramson. [Precálculo 2ed](https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/3-5-dividir-polinomios) . OpenStax, Rice University , 2022. Cap. 3.5, Dividir polinomios Actualizado el 2 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml