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title: "Reglas de derivación · Quedé"
description: "Constante, potencia, suma, resta, múltiplo, producto y cociente permiten derivar polinomios y cocientes sin armar el límite cada vez."
url: "https://quede.app/aprende/matematicas/reglas-de-derivacion"
updated: "2026-10-03"
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# Reglas de derivación

Matemáticas [La derivada](https://quede.app/materias/matematicas/derivada)

Con la función ya diferenciable, la derivada de una constante es 0, la de x^n baja el exponente, y suma, resta, producto y cociente se arman con las derivadas de las piezas.[1](#fuente-reg-bas)

Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura

## Antes de esto

Esta página da por hecho que ya entiendes:

- [La derivada: definición e interpretación La derivada en un punto es el límite del cociente de diferencias: la pendiente de la tangente y la tasa de cambio instantánea. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/definicion-de-derivada)

## ¿Cómo se deriva sin volver al límite?

La [definición con límite](https://quede.app/aprende/matematicas/definicion-de-derivada) justifica cada regla. Después ya no hace falta armar el cociente en cada polinomio. Si $f$ y $g$ son diferenciables y $k$ es constante, valen estas cuentas. [1](#fuente-reg-bas)

Una función constante $f(x) = c$ tiene derivada 0. También se escribe $\frac{d}{dx}(c) = 0$. Su gráfica es una recta horizontal, y la pendiente de una horizontal es 0.

Si $n$ es un entero positivo y $f(x) = x^{n}$, entonces $f'(x) = n x^{n-1}$. El exponente baja a coeficiente y se resta 1. Esto no se aplica a una constante elevada a $x$, como $3^{x}$. Para $x^{3}$, el binomio del cociente deja $3x^{2}$. La misma fórmula aparece escrita para el cuadrado, $\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$, y para la raíz, $\frac{d}{dx}\left(x^{1/2}\right) = \frac{1}{2} x^{-1/2}$. Estas fichas no extienden la potencia a cualquier racional.

La suma se deriva término a término: $\frac{d}{dx}(f + g) = f' + g'$. La resta también: $\frac{d}{dx}(f - g) = f' - g'$. Un múltiplo constante sale: $\frac{d}{dx}(k f) = k f'$. La suma se prueba con el límite y la ley de la suma de límites. La resta y el múltiplo siguen el mismo camino.

El producto no es el producto de las derivadas:

$$\frac{d}{dx}(fg) = f'g + g'f.$$

El contraejemplo corto es $\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$, que no es $1 \cdot 1$. En la prueba se suma y se resta $f(x)g(x + h)$ dentro del cociente, y se usa que $g$ es continua. Con tres factores diferenciables,

$$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'.$$

El cociente tampoco es el cociente de las derivadas:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^{2}}.$$

Otra vez $x^{2} = \frac{x^{3}}{x}$ avisa el error: la derivada es $2x$, no $\frac{3x^{2}}{1}$. La prueba se parece a la del producto y el libro la deja así.

Si $k$ es un entero negativo, $\frac{d}{dx}(x^{k}) = k x^{k-1}$. Se escribe $n = -k$, se ve $x^{k}$ como $\frac{1}{x^{n}}$ y se aplica el cociente. Por ejemplo, $x^{-4}$ da $-4x^{-5}$, y $\frac{6}{x^{2}} = 6x^{-2}$ da $-12x^{-3}$.

Cuando hay varias reglas, se deshace el orden en que se evaluaría la expresión: primero la operación de afuera. Estas fichas se quedan en polinomios, productos, cocientes y potencias enteras. No derivan seno, coseno, exponencial ni logaritmo.

## Ideas clave

- **Constante.** Si $f(x) = c$, entonces $f'(x) = 0$. [1](#fuente-reg-bas)
- **Potencia.** Si $n$ es entero positivo, $\frac{d}{dx}(x^{n}) = n x^{n-1}$. No aplica a $a^{x}$. [1](#fuente-reg-bas)
- **Suma y resta.** $\frac{d}{dx}(f \pm g) = f' \pm g'$, y $\frac{d}{dx}(kf) = k f'$. [1](#fuente-reg-bas)
- **Producto.** $\frac{d}{dx}(fg) = f'g + g'f$. No es $f'g'$. [1](#fuente-reg-bas)
- **Cociente.** $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^{2}}$. El menos no se puede voltear. [1](#fuente-reg-bas)
- **Entero negativo.** $\frac{d}{dx}(x^{k}) = k x^{k-1}$ también si $k$ es entero negativo. [1](#fuente-reg-bas)

## Ejemplos resueltos

### Un polinomio

Deriva $f(x) = x^{6} - 4x^{2} + 5$.

1. La potencia en $x^{6}$ da $6x^{5}$. En $x^{2}$ da $2x$, y el $-4$ se queda de coeficiente: $-8x$. [1](#fuente-reg-bas)
2. La constante 5 aporta 0.
3. $f'(x) = 6x^{5} - 8x$.
4. No bajes el 6 y dejes el exponente en 6. El exponente nuevo es 5.

### Un producto

Deriva $p(x) = (x + 4)(x^{2} - 1)$.

1. Llama $f(x) = x + 4$ y $g(x) = x^{2} - 1$. Entonces $f'(x) = 1$ y $g'(x) = 2x$. [1](#fuente-reg-bas)
2. $p'(x) = (1)(x^{2} - 1) + (2x)(x + 4) = x^{2} - 1 + 2x^{2} + 8x = 3x^{2} + 8x - 1$.
3. Al expandir, $p(x) = x^{3} + 4x^{2} - x - 4$, y su derivada es la misma $3x^{2} + 8x - 1$. Las dos rutas coinciden.
4. El atajo $f'g' = 2x$ no es la derivada del producto.

### Un cociente y una potencia negativa

Deriva $q(x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 1}$ y $r(x) = \frac{5}{x^{3}}$.

1. En el cociente, $f'g - g'f = (1)(x^{2} - 1) - (2x)(x + 4) = x^{2} - 1 - 2x^{2} - 8x = -x^{2} - 8x - 1$. [1](#fuente-reg-bas)
2. El denominador va al cuadrado: $q'(x) = \frac{-x^{2} - 8x - 1}{(x^{2} - 1)^{2}}$.
3. $r(x) = 5x^{-3}$. El exponente baja: $r'(x) = 5(-3)x^{-4} = -15x^{-4}$.
4. No dividas la derivada de arriba entre la de abajo y ya. Falta la resta y el cuadrado.

## Errores comunes

Derivar $x^{n}$ y olvidar restar 1 al exponente, o bajar el exponente y no multiplicar. $x^{6}$ no da $x^{5}$ ni $6x^{6}$. [1](#fuente-reg-bas)

Aplicar la potencia a $3^{x}$. La base es la que está fija y el exponente es la variable. La regla de esta sección pide la variable en la base.

Multiplicar derivadas en un producto, o dividirlas en un cociente. El producto suma dos términos. El cociente resta en un orden fijo y divide entre el cuadrado del denominador. [1](#fuente-reg-bas)

Voltear el signo del cociente, $g'f - f'g$, y dejarlo como respuesta. Eso cambia el signo de toda la derivada.

## Cómo lo pregunta el examen

Piden la derivada de un polinomio, de un producto y de un cociente de polinomios, o el valor de la derivada en un número después de derivar. El orden del examen suele ser: identifica la regla de afuera, deriva cada pieza, y solo al final sustituyes el número. Si el enunciado trae una raíz o un entero en el denominador, reescríbelo como potencia antes de usar la fórmula. Seno, exponencial y logaritmo aparecen en otros reactivos. Esta ficha no les da fórmula.

## Resumen

- La constante se anula y $x^{n}$ pasa a $n x^{n-1}$ si $n$ es entero positivo. [1](#fuente-reg-bas)
- Suma y resta se derivan pieza por pieza. La constante multiplicada sale intacta. [1](#fuente-reg-bas)
- El producto suma $f'g$ y $g'f$. No multipliques $f'$ por $g'$. [1](#fuente-reg-bas)
- El cociente es $\frac{f'g - g'f}{g^{2}}$. [1](#fuente-reg-bas)
- Un entero negativo en el exponente usa la misma baja de potencia, vía el cociente. [1](#fuente-reg-bas)

## Practica este concepto

Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste.

- [Derivar con las reglas básicas (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/derivada/reglas-derivacion)

## Dudas comunes

### ¿La derivada de un producto es el producto de las derivadas?

No. d/dx de f por g es f' g + g' f. El producto de f' y g' falla ya en x por x, cuya derivada es 2x y no 1.

### ¿La derivada de un cociente es el cociente de las derivadas?

No. Se resta f' g menos g' f, y se divide entre g al cuadrado. El orden de la resta importa.

### ¿La regla de la potencia sirve para 3^x?

No. Sirve para x^n, con la potencia en la variable. Una constante elevada a x es otra función.

### ¿Un exponente negativo se deriva igual?

Sí, si el exponente es un entero negativo. La fórmula sigue siendo k x^{k-1}. Se demuestra con el cociente y 1/x^n.

## Sigue con

Conceptos que se apoyan en este.

- [Regla de la cadena La derivada de una composición es la derivada de la función de afuera, evaluada en la de adentro, por la derivada de adentro. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/regla-de-la-cadena)
- [Recta tangente y normal a una curva La tangente en un punto de la curva usa la derivada como pendiente. La normal pasa por el mismo punto y es perpendicular a esa tangente. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/recta-tangente-y-normal)
- [Velocidad y aceleración con derivadas La velocidad es la derivada de la posición. La aceleración es la derivada de la velocidad, es decir, la segunda derivada de la posición. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/velocidad-y-aceleracion)
- [Máximos, mínimos y optimización En un intervalo cerrado, el máximo y el mínimo absolutos caen en un extremo o en un punto crítico. Ahí se comparan los valores de la función. 6 min](https://quede.app/aprende/matematicas/maximos-y-minimos)
- [Integrales inmediatas La integral indefinida reúne las antiderivadas de f: una fórmula F más cualquier constante. Se comprueba derivando el resultado. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integrales-inmediatas)

## Para saber más

Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya.

1. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman.  [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/3-3-reglas-de-diferenciacion) . OpenStax, Rice University , 2022.
    
    Sección 3.3, reglas de diferenciación · Licencia CC BY-NC-SA 4.0

Actualizado el 3 de octubre de 2026.

 

[Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas)

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