--- title: "Regla de la cadena · Quedé" description: "La derivada de una composición es la derivada de la función de afuera, evaluada en la de adentro, por la derivada de adentro." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/regla-de-la-cadena" updated: "2026-10-03" --- # Regla de la cadena Matemáticas [La derivada](https://quede.app/materias/matematicas/derivada) Si h(x) = f(g(x)), y las dos son diferenciables en el sitio que toca, entonces h'(x) = f'(g(x)) por g'(x). En Leibniz, dy/dx = (dy/du)(du/dx).[1](#fuente-cad-reg) Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Reglas de derivación Constante, potencia, suma, resta, múltiplo, producto y cociente permiten derivar polinomios y cocientes sin armar el límite cada vez. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/reglas-de-derivacion) - [Operaciones y composición de funciones Cómo sumar los valores de dos funciones en la misma entrada y cómo componer: la salida de la de adentro entra a la de afuera, y el orden cambia el resultado. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/composicion-de-funciones) ## ¿Cómo se deriva una función metida en otra? Las [reglas de suma y de producto](https://quede.app/aprende/matematicas/reglas-de-derivacion) no alcanzan cuando una función vive dentro de otra. La [composición](https://quede.app/aprende/matematicas/composicion-de-funciones) $h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$ se deriva con la cadena: la derivada de la de afuera, evaluada en la de adentro, por la derivada de la de adentro. [1](#fuente-cad-reg) Para todo $x$ del dominio de $g$ donde $g$ es diferenciable en $x$ y $f$ es diferenciable en $g(x)$, $$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$ Si $y$ es función de $u$ y $u$ es función de $x$, $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$ El orden de trabajo es de afuera hacia adentro. La derivada de una composición de dos funciones tiene dos factores. La de tres tiene tres. No se evalúa una derivada en otra derivada: la de afuera se evalúa en el valor de la de adentro. La estrategia es corta. Identifica $f$ y $g$. Calcula $f'$ y evalúala en $g(x)$. Calcula $g'(x)$. Multiplica. Junto con la potencia sale una forma que se usa todo el tiempo. Si $$h(x) = \big(g(x)\big)^{n},$$ entonces $$h'(x) = n \big(g(x)\big)^{n-1} \cdot g'(x),$$ en los $x$ donde esa derivada existe. Se piensa $f(t) = t^{n}$, así que $f'(t) = n t^{n-1}$, y luego se sustituye $t$ por $g(x)$. Con tres funciones, si $k(x) = h\big(f(g(x))\big)$, $$k'(x) = h'\big(f(g(x))\big) \cdot f'(g(x)) \cdot g'(x).$$ Es aplicar la cadena dos veces. Se puede ir de afuera hacia adentro, una derivada por vez, sin memorizar la fórmula de tres. La sección también deja escritas las cadenas del seno y del coseno, porque ya usa que la derivada del seno es el coseno y la del coseno es el menos seno: $$\frac{d}{dx}\big(\sin(g(x))\big) = \cos(g(x)) \cdot g'(x),$$ $$\frac{d}{dx}\big(\cos(g(x))\big) = -\sin(g(x)) \cdot g'(x).$$ Estas fichas no desarrollan la derivada de la exponencial ni la del logaritmo. La prueba informal de la cadena, la que parte el cociente y cambia de variable, no se pide en el examen y aquí no se reconstruye. En Leibniz hay que sustituir al final. Si $u = g(x)$ y $y = f(u)$, el producto $\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ todavía puede traer $u$. La respuesta del problema queda entera en $x$. ## Ideas clave - **Dos funciones.** $h(x) = f(g(x))$ cumple $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. [1](#fuente-cad-reg) - **Leibniz.** Si $y$ depende de $u$ y $u$ depende de $x$, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$, y al final solo queda $x$. [1](#fuente-cad-reg) - **Potencia.** $\frac{d}{dx}\big(g(x)\big)^{n} = n \big(g(x)\big)^{n-1} g'(x)$. [1](#fuente-cad-reg) - **Tres piezas.** La derivada trae tres factores: afuera, media y adentro. [1](#fuente-cad-reg) - **Seno y coseno.** La cadena del seno multiplica por el coseno de adentro. La del coseno multiplica por el menos seno. [1](#fuente-cad-reg) - **Orden.** Se trabaja de afuera hacia adentro. No se mete una derivada dentro de otra. [1](#fuente-cad-reg) ## Ejemplos resueltos ### Potencia de un binomio Deriva $h(x) = (x^{2} + 3)^{4}$. 1. La de afuera es la potencia 4. La de adentro es $g(x) = x^{2} + 3$, con $g'(x) = 2x$. [1](#fuente-cad-reg) 2. $h'(x) = 4(x^{2} + 3)^{3} \cdot 2x = 8x(x^{2} + 3)^{3}$. 3. El $2x$ no se puede omitir. Sin él solo derivaste la potencia y dejaste la de adentro quieta. 4. No expandas el binomio a la cuarta si solo piden la derivada. La cadena ya la deja factorizada. ### Un coseno Deriva $y = \cos(5x)$. 1. La de afuera es el coseno. Su derivada es el menos seno, evaluado en $5x$. [1](#fuente-cad-reg) 2. La de adentro es $5x$, cuya derivada es 5. 3. $\frac{dy}{dx} = -\sin(5x) \cdot 5 = -5\sin(5x)$. 4. El 5 no se queda solo en el argumento. Sale al frente al derivar el interior. ### Tres niveles, de afuera hacia adentro Deriva $k(x) = \big((x + 2)^{2} + 1\big)^{3}$. 1. La potencia de afuera es 3. Su factor es $3\big((x + 2)^{2} + 1\big)^{2}$. [1](#fuente-cad-reg) 2. Lo de adentro de esa potencia es $(x + 2)^{2} + 1$. Su derivada es $2(x + 2) \cdot 1$, otra cadena. 3. $k'(x) = 3\big((x + 2)^{2} + 1\big)^{2} \cdot 2(x + 2) = 6(x + 2)\big((x + 2)^{2} + 1\big)^{2}$. 4. Son tres factores antes de simplificar: la potencia exterior, la potencia intermedia y la derivada de $x + 2$. ## Errores comunes Derivar la de afuera y olvidar multiplicar por $g'(x)$. En $(x^{2} + 3)^{4}$ eso dejaría $4(x^{2} + 3)^{3}$, incompleta. [1](#fuente-cad-reg) Evaluar $f'$ en $g'(x)$ en lugar de en $g(x)$. La de afuera ve el valor de la función interior, no su pendiente. Dejar la $u$ en la respuesta de Leibniz. Si $u = 3x - 2$ y $y = u^{4}$, el producto $4u^{3} \cdot 3$ se escribe $12(3x - 2)^{3}$. [1](#fuente-cad-reg) Parar en la primera capa cuando hay tres. Cada función que todavía depende de $x$ aporta su factor. ## Cómo lo pregunta el examen Dan una potencia de un polinomio, o un seno o un coseno de un múltiplo de $x$, y piden la derivada. El reactivo no pide la prueba. Pide reconocer afuera y adentro, bajar la potencia o cambiar seno y coseno, y no perder el factor interior. Si la expresión trae un producto y además una composición, primero se abre el producto y en cada término se usa la cadena. Exponencial y logaritmo de un polinomio salen en el banco. Esta ficha no escribe su fórmula. ## Resumen - $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ cuando $h = f \circ g$. [1](#fuente-cad-reg) - En Leibniz, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$, y $u$ se elimina al final. [1](#fuente-cad-reg) - La potencia de $g$ multiplica $n(g)^{n-1}$ por $g'$. [1](#fuente-cad-reg) - Tres funciones aportan tres factores, de afuera hacia adentro. [1](#fuente-cad-reg) - Seno compuesto deriva al coseno de adentro por $g'$. Coseno compuesto, al menos seno por $g'$. [1](#fuente-cad-reg) ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Derivar funciones compuestas con la regla de la cadena (5 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/derivada/regla-cadena) ## Dudas comunes ### ¿Se deriva la de afuera y ya se acaba? No. Esa derivada se evalúa en la función de adentro, y el resultado se multiplica por la derivada de adentro. ### ¿La potencia de una función usa otra regla distinta? Es la cadena junto con la potencia. Si h(x) = (g(x))^n, entonces h'(x) = n (g(x))^{n-1} g'(x). ### ¿En notación de Leibniz se puede dejar la u en la respuesta? No. Al terminar, u se sustituye por la expresión en x. La respuesta queda solo en la variable del problema. ## Sigue con Conceptos que se apoyan en este. - [Derivación implícita Si y no está despejada, se derivan los dos lados, se trata y como función de x con la cadena y al final se despeja dy/dx. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/derivacion-implicita) - [Integración por sustitución Si el integrando es una composición por la derivada de adentro, u = g(x) lo vuelve una integral de la tabla. En la definida, los extremos pasan a u. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integracion-por-sustitucion) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman. [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/3-6-la-regla-de-la-cadena) . OpenStax, Rice University , 2022. Sección 3.6, la regla de la cadena · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 Actualizado el 3 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml