--- title: "Productos notables: cuadrado, cubo y conjugados · Quedé" description: "Cómo desarrollar el cuadrado y el cubo de un binomio, el producto de conjugados, y por qué el término de en medio decide el acierto." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/productos-notables" updated: "2026-10-02" --- # Productos notables Matemáticas [Productos notables y factorización](https://quede.app/materias/matematicas/productos-notables-factorizacion) Un producto notable es una multiplicación de binomios que ya tiene fórmula: no hace falta abrir cuatro productos si reconoces el cuadrado, el cubo o los conjugados.[1](#fuente-pn-cch) Actualizado el 2 de octubre de 2026 4 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Operaciones con polinomios Cómo se juntan términos semejantes, cómo se multiplican polinomios y cómo se divide un polinomio entre un monomio o un binomio. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/operaciones-con-polinomios) ## ¿Qué es un producto notable? En la papelería compras un cuaderno de $n$ pesos y una pluma de 4 pesos. Si pagas dos de cada uno, el total no es "el doble del cuaderno, punto". También pagas las plumas. Con binomios pasa lo mismo: $(n + 4)^{2}$ no es $n^{2} + 16$. El CCH llama productos notables a las multiplicaciones algebraicas cuyo resultado se puede escribir con una fórmula, y pone como ejemplos el binomio al cuadrado y la diferencia de cuadrados. [1](#fuente-pn-cch) La fórmula del cuadrado de una suma está en el material del trinomio cuadrado perfecto: $$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$ El primer término al cuadrado, el segundo al cuadrado, y en medio el doble del producto. [2](#fuente-pn-tcp) Si el binomio resta, sustituye $b$ por $-b$. El doble producto cambia de signo y el cuadrado del segundo no, porque $(-b)^{2} = b^{2}$: $$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$$ OpenStax muestra el mismo patrón al revés, cuando el trinomio ya está escrito y hay que reconocer que salió de un binomio al cuadrado. En $(3x + 4)^{2}$ toma $a = 3x$ y $b = 4$, y el desarrollo es $9x^{2} + 24x + 16$. [3](#fuente-pn-cuad) Los conjugados son el par $a + b$ y $a - b$. Su producto es una diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2}$. El CCH factoriza $a^{2} - b^{2}$ justo como $(a + b)(a - b)$. [2](#fuente-pn-tcp) El término de en medio se cancela: $ab$ y $-ab$ se van. Por eso no queda un término con las dos letras juntas. Para el cubo no hay una línea aparte en esas fichas. Sale del binomio de Newton, con la fila 1, 3, 3, 1 del triángulo de Pascal. [4](#fuente-pn-binom) En [el binomio de Newton](https://quede.app/aprende/matematicas/binomio-de-newton) está el término general. Aquí basta el caso $n = 3$: $$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$$ $$(a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$$ Cada potencia de $b$ arrastra su signo. Si $b$ ya trae un coeficiente, ese coeficiente se eleva completo en cada término. ## Ideas clave - **Cuadrado de un binomio.** $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ y $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$. El término de en medio es el doble producto, con el signo de la operación. [2](#fuente-pn-tcp) - **Conjugados.** $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$. Se eleva cada término completo y se restan. No aparece un término lineal. [1](#fuente-pn-cch) - **Cubo de un binomio.** Con coeficientes 1, 3, 3, 1: los signos alternan si el binomio resta. $a$ y $b$ se elevan enteros, coeficiente incluido. [4](#fuente-pn-binom) - **Término completo.** En $(3a^{2})^{2}$ el resultado es $9a^{4}$. El coeficiente se eleva y el exponente se multiplica por 2. En un cubo, el exponente se multiplica por 3. - **Comprobación.** El desarrollo se verifica multiplicando de nuevo o sustituyendo un número chico. Si $a = 1$ y $b = 1$, $(a + b)^{2}$ vale 4, no 2. ## Ejemplos resueltos ### El patio de $4\,\text{m}$ de más Un patio cuadrado mide $t$ metros de lado y le sumas 4 m de banqueta por lado. El área nueva es $(t + 4)^{2}$. 1. Identifica $a = t$ y $b = 4$. 2. Cuadrado del primero: $t^{2}$. 3. Doble producto: $2 \cdot t \cdot 4 = 8t$. 4. Cuadrado del segundo: $16$. 5. Junta: $t^{2} + 8t + 16$. Prueba con $t = 2$. El lado mide 6 m y el área es 36. La fórmula da $4 + 16 + 16 = 36$. Sin el término de en medio saldrían 20, y el patio no mide eso. ### Conjugados con coeficiente Desarrolla $(4p + 7q)(4p - 7q)$. 1. Los dos binomios son conjugados. $a = 4p$ y $b = 7q$. 2. Cuadrado del primero: $(4p)^{2} = 16p^{2}$. 3. Cuadrado del segundo: $(7q)^{2} = 49q^{2}$. 4. Resta: $16p^{2} - 49q^{2}$. No queda término en $pq$. Con $p = 1$ y $q = 1$, los binomios valen 11 y $-3$, y $11 \cdot (-3) = -33$. La diferencia de cuadrados da $16 - 49 = -33$. ### Un cubo con el segundo término compuesto Desarrolla $(m - 2n)^{3}$. 1. $a = m$ y $b = 2n$. El signo es resta, así que los signos van +, -, +, - en el orden $a^{3}$, $a^{2}b$, $ab^{2}$, $b^{3}$, con los 3 del medio. 2. $a^{3} = m^{3}$. 3. $3a^{2}b = 3m^{2}(2n) = 6m^{2}n$, y por la resta va con menos: $-6m^{2}n$. 4. $3ab^{2} = 3m(2n)^{2} = 3m \cdot 4n^{2} = 12mn^{2}$. 5. $b^{3} = (2n)^{3} = 8n^{3}$, con menos: $-8n^{3}$. 6. Queda $m^{3} - 6m^{2}n + 12mn^{2} - 8n^{3}$. Con $m = 2$ y $n = 1$, el binomio es 0 y el desarrollo es $8 - 24 + 24 - 8 = 0$. ## Errores comunes Si elevas cada término y olvidas el doble producto, $(t + 4)^{2}$ te queda $t^{2} + 16$. El área del patio no cuadra. Escribe siempre el $2ab$ antes de pasar al siguiente ejercicio. Si el binomio resta y pones todos los signos negativos, el cuadrado del segundo también te queda negativo. $b^{2}$ es positivo. Solo el doble producto hereda el signo de la resta. Si en los conjugados dejas un término de en medio, no eran conjugados o no cancelaste $ab$ con $-ab$. Vuelve a marcar los productos cruzados. Si elevas $3a^{2}$ como $3a^{4}$ o como $9a^{2}$, partiste el término. El coeficiente y la potencia viajan juntos. Si el cubo lo armas como $a^{3} - b^{3}$, te faltan los dos términos de en medio. Esos son los que traen el 3. ## Cómo lo pregunta el examen La pregunta directa te da un binomio al cuadrado, al cubo o un par de conjugados, y cuatro desarrollos. Mira primero el signo de en medio y el exponente del coeficiente. En columnas te piden emparejar tres productos con sus desarrollos: uno es cuadrado, otro es conjugados, otro es un producto cualquiera que sí lleva término lineal. El atajo es nombrar el patrón antes de multiplicar. Cuando el enunciado pide el desarrollo y las opciones se parecen, sustituye $x = 1$ (o el número que no anule un factor) y descarta las que no den el mismo valor. No sustituyas los datos del reactivo en la hoja de fórmulas: arma el patrón con las letras que te dieron. Para potencias mayores que 3, pasa a [el binomio de Newton](https://quede.app/aprende/matematicas/binomio-de-newton). Para ir del trinomio hacia los factores, sigue en [factorización](https://quede.app/aprende/matematicas/factorizacion). ## Resumen - $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ y $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$. - El término que más se olvida es el doble producto. - $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$, sin término de en medio. - El cubo usa 1, 3, 3, 1, y $b$ se eleva completo. - Comprueba con un número chico antes de marcar la opción. ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Desarrollar binomios al cuadrado, conjugados y otros productos notables (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/productos-notables-factorizacion/desarrollar-productos-notables) ## Dudas comunes ### ¿El cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados? No. Falta el doble del producto de los dos términos. Ese término de en medio es el que casi siempre separa la opción correcta. ### ¿Los conjugados dan una suma de cuadrados? No. El producto de conjugados es una diferencia de cuadrados. La suma de cuadrados no sale de ese patrón. ### ¿Hay que elevar el coeficiente y el exponente? Sí, los dos. En (3a²)² el 3 se eleva y el exponente se duplica. Queda 9a⁴, no 9a² ni 3a⁴. ## Sigue con Conceptos que se apoyan en este. - [Binomio de Newton y triángulo de Pascal Cómo armar (a + b) elevado a n con el triángulo de Pascal, y cómo sacar un solo término o coeficiente sin desarrollar todo. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/binomio-de-newton) - [Factorización de expresiones algebraicas Cómo pasar de un polinomio a sus factores: común, trinomio, diferencia de cuadrados, cubos y agrupación de cuatro términos. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/factorizacion) - [Centro y radio desde la ecuación general Cómo se leen el centro y el radio cuando la ecuación de la circunferencia llega en forma general y hay que completar los cuadrados. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/centro-y-radio-de-la-circunferencia) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades. [Portal Académico del CCH: objetos de aprendizaje](https://e1.portalacademico.cch.unam.mx/alumno/aprende/matematicas3/productosnotables) . Universidad Nacional Autónoma de México. Productos notables 2. Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades. [Portal Académico del CCH: objetos de aprendizaje](https://e1.portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas2/unidad2/solucionTCP/introduccion) . Universidad Nacional Autónoma de México. Trinomio cuadrado perfecto 3. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis. [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-3-factor-special-products) . OpenStax, Rice University , 2020. Cap. 6.3, Factor special products · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 4. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis. [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/12-4-binomial-theorem) . OpenStax, Rice University , 2020. Cap. 12.4, Binomial theorem · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 Actualizado el 2 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml