--- title: "Permutaciones y combinaciones · Quedé" description: "Si el orden cuenta, es una permutación: n! entre (n menos r)!. Si el orden no cuenta, es una combinación y el denominador también lleva r!." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/permutaciones-y-combinaciones" updated: "2026-10-03" --- # Permutaciones y combinaciones Matemáticas [Probabilidad y estadística](https://quede.app/materias/matematicas/probabilidad-estadistica) Una permutación ordena una selección: QUEDEMATH0QUEDEMATH es QUEDEMATH1QUEDEMATH entre QUEDEMATH2QUEDEMATH. Una combinación solo elige, sin orden: QUEDEMATH3QUEDEMATH divide además entre QUEDEMATH4QUEDEMATH. Si cada elección ocurre después de la anterior, los números se multiplican.[1](#fuente-per-mul) Actualizado el 3 de octubre de 2026 4 min de lectura ## ¿El orden de la selección cambia el número? Si una elección puede ocurrir de $m$ maneras y otra, después de esa, de $n$ maneras, las dos juntas pueden ocurrir de $m \times n$ maneras. El libro lo llama principio de multiplicación, y también principio fundamental de conteo. No es una suma: la suma aparece cuando eliges una opción o la otra, sin encadenarlas. En un menú fijo de $2$ entradas, $3$ platos y $2$ postres hay $2 \times 3 \times 2 = 12$ comidas de una de cada cosa. El producto crece con cada decisión que se toma después de la anterior. [1](#fuente-per-mul) Una ordenación de objetos es una permutación. Si hay que llenar lugares en orden, conviene dibujar un lugar por decisión y anotar cuántas opciones quedan en cada uno. Cuatro cuadros distintos y tres ganchos en la pared, por ejemplo, dejan $4$ opciones en el primer gancho, $3$ en el segundo y $2$ en el tercero: $4 \times 3 \times 2 = 24$ colgados distintos. El orden en el que cuelgan sí cambia el resultado. [2](#fuente-per-ord) ### La fórmula, cuando ya son muchos factores Elegir $r$ objetos distintos de un conjunto de $n$, y ordenarlos, se cuenta con $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}.$$ El factorial $n!$ es el producto que el libro usa en esa fórmula. En un club de $6$ personas, los puestos ordenados de $3$ oficiales son $P(6, 3) = \tfrac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$. Si ordenas los $n$ objetos completos, $r = n$ y el denominador es $(n - n)!$, o sea $0!$. El libro usa $0! = 1$, así que $P(n, n) = n!$. No queda una división entre cero. [3](#fuente-per-for) El mismo coeficiente, sin el orden, es el que también aparece al desarrollar un binomio. Esa escritura está en [el coeficiente binomial](https://quede.app/aprende/matematicas/binomio-de-newton). Aquí hace falta la versión que no ordena. ### Cuando el orden no cuenta Hay problemas en los que eliges algunos objetos y no te importa en qué orden quedaron. Eso es una combinación. Una selección de $r$ objetos de un conjunto de $n$, sin orden, se escribe $C(n, r)$, y también $n$ sobre $r$. La fórmula es $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}.$$ El $r!$ del denominador quita las ordenaciones que la permutación sí contaba. $P(n, r)$ es más grande que $C(n, r)$ por ese factor, cuando $r \geq 2$. En el libro, elegir $2$ guarniciones de $5$ da $C(5, 2) = 10$, y elegir $3$ de esas mismas $5$ también da $10$. No uses esa pareja como único ejercicio: cambia $n$ y $r$. [4](#fuente-per-com) Estas fichas no cuentan objetos repetidos, como letras que se repiten en una palabra. La sección sí tiene ese caso, y no hace falta para separar permutación de combinación. Si el enunciado dice "orden", "fila", "lugares" o "puestos", es $P$. Si dice "comité", "grupo" o "elige" sin acomodar, es $C$. [2](#fuente-per-ord) [4](#fuente-per-com) ## Ideas clave - **Multiplicación.** Si la segunda elección ocurre después de la primera, las maneras se multiplican: $m \times n$. [1](#fuente-per-mul) - **Permutación.** Una ordenación. $P(n, r) = \tfrac{n!}{(n - r)!}$. [2](#fuente-per-ord) [3](#fuente-per-for) - **Todos.** $P(n, n) = n!$ porque $0! = 1$. [3](#fuente-per-for) - **Combinación.** El orden no importa. $C(n, r) = \tfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$. [4](#fuente-per-com) - **Relación.** La combinación es la permutación partida entre $r!$. [4](#fuente-per-com) ## Ejemplos resueltos ### Bebida y sandwich Una cafetería tiene $4$ bebidas y $6$ sandwiches. Un pedido lleva una bebida y un sandwich. ¿Cuántos pedidos distintos hay? 1. Primero la bebida, de $4$ maneras. Después el sandwich, de $6$. [1](#fuente-per-mul) 2. $4 \times 6 = 24$ pedidos. 3. Sumar $4 + 6 = 10$ contaría "bebida o sandwich", no un pedido con las dos cosas. ### Tres canciones en orden Hay $8$ canciones distintas y quieres una lista de $3$, donde el orden de reproducción sí cambia la lista. ¿Cuántas listas hay? 1. $P(8, 3) = \tfrac{8!}{(8 - 3)!} = \tfrac{8!}{5!}$. [3](#fuente-per-for) 2. Eso es $8 \times 7 \times 6 = 336$. 3. Si el orden no cambiara la selección, este número estaría de más: habría que dividir entre $3!$. ### Las mismas tres, sin orden De esas $8$ canciones eliges $3$ para un conjunto, y dos conjuntos con las mismas canciones son el mismo aunque las pongas en otro orden. ¿Cuántos conjuntos hay? 1. $C(8, 3) = \tfrac{8!}{3!\,5!} = \tfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$. [4](#fuente-per-com) 2. $336 / 6 = 56$. El $6$ es $3!$, las formas de ordenar las tres canciones ya elegidas. 3. Entregar $336$ aquí cuenta listas, no conjuntos. ## Errores comunes - Sumar las opciones de un pedido que lleva una cosa y después otra. Esas opciones se multiplican. [1](#fuente-per-mul) - Usar $C$ cuando el puesto o la fila distinguen el orden. Eso es $P$. [2](#fuente-per-ord) - Olvidar el $r!$ de la combinación y dejar la permutación. [4](#fuente-per-com) - Tratar $0!$ como $0$. En esta sección vale $1$, y $P(n, n)$ es $n!$. [3](#fuente-per-for) ## Cómo lo pregunta el examen Una carta de productos con dos decisiones seguidas pide un producto. Una fila, un podio o una lista de reproducción piden $P(n, r)$. Un comité o un grupo de tamaño $r$, sin cargos distintos, pide $C(n, r)$. Con $8$ objetos y $3$ lugares, la lista ordenada vale $336$ y el grupo sin orden vale $56$. Si te piden ordenar los $n$ objetos enteros, la respuesta es $n!$, porque $0! = 1$. El coeficiente $n$ sobre $r$ es el mismo número de la combinación. [3](#fuente-per-for) [4](#fuente-per-com) ## Resumen - Dos elecciones encadenadas se multiplican. [1](#fuente-per-mul) - Ordenar $r$ objetos de $n$ es $P(n, r) = \tfrac{n!}{(n - r)!}$. [3](#fuente-per-for) - Ordenar los $n$ es $n!$, con $0! = 1$. [3](#fuente-per-for) - Elegir sin orden es $C(n, r) = \tfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$. [4](#fuente-per-com) - $C$ sale de $P$ al dividir entre las ordenaciones $r!$. [4](#fuente-per-com) ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Contar arreglos con permutaciones y combinaciones (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/probabilidad-estadistica/tecnicas-conteo) ## Dudas comunes ### ¿C(n, r) y P(n, r) salen igual? No, salvo casos chicos como r = 1. La permutación ordena. La combinación divide entre r!, así que es más chica cuando r es 2 o más. ### ¿0! vale 0? No. En esta sección vale 1. Por eso, al ordenar los n objetos, P(n, n) queda en n! y no en una división entre cero. ### ¿El principio de multiplicación suma las opciones? No. Multiplica. Sumar es otra regla, la de cuando eliges una cosa o la otra. Aquí una elección ocurre y después la siguiente. ## Se entiende mejor junto con - [Binomio de Newton y triángulo de Pascal Cómo armar (a + b) elevado a n con el triángulo de Pascal, y cómo sacar un solo término o coeficiente sin desarrollar todo. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/binomio-de-newton) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Jay Abramson. [College Algebra](https://openstax.org/books/college-algebra/pages/9-5-counting-principles) . OpenStax, Rice University , 2015. Cap. 9.5, principio de multiplicación 2. Jay Abramson. [College Algebra](https://openstax.org/books/college-algebra/pages/9-5-counting-principles) . OpenStax, Rice University , 2015. Cap. 9.5, una ordenación es una permutación 3. Jay Abramson. [College Algebra](https://openstax.org/books/college-algebra/pages/9-5-counting-principles) . OpenStax, Rice University , 2015. Cap. 9.5, fórmula P(n, r) y el caso 0! 4. Jay Abramson. [College Algebra](https://openstax.org/books/college-algebra/pages/9-5-counting-principles) . OpenStax, Rice University , 2015. Cap. 9.5, combinaciones cuando el orden no importa Actualizado el 3 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml