--- title: "Operar números complejos · Quedé" description: "Cómo se suman, se multiplican y se dividen números de la forma a + bi, y cómo se simplifica una potencia alta de la unidad i." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/numeros-complejos" updated: "2026-10-03" --- # Números complejos: suma, resta y multiplicación Matemáticas [Operaciones con números y expresiones algebraicas](https://quede.app/materias/matematicas/operaciones-numeros-y-expresiones) La unidad imaginaria QUEDEMATH0QUEDEMATH es el número cuyo cuadrado es QUEDEMATH1QUEDEMATH. Un complejo en forma estándar es QUEDEMATH2QUEDEMATH, con QUEDEMATH3QUEDEMATH y QUEDEMATH4QUEDEMATH reales. Se suman por partes, se multiplican como binomios y se dividen multiplicando por el conjugado.[1](#fuente-com-i) [2](#fuente-com-sum) Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Simplificar y operar radicales Cómo sacar factores de una raíz, sumar radicales semejantes, racionalizar un denominador y pasar de una raíz a un exponente. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/radicales) - [Operaciones con polinomios Cómo se juntan términos semejantes, cómo se multiplican polinomios y cómo se divide un polinomio entre un monomio o un binomio. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/operaciones-con-polinomios) ## ¿Qué es un número complejo? En la recta de los reales no hay un número cuyo cuadrado sea $-1$. Para las raíces de índice par de un negativo, que no son reales, hace falta otra unidad. Esa unidad se opera con las mismas reglas de un binomio, que están en [polinomios](https://quede.app/aprende/matematicas/operaciones-con-polinomios), y con el cuidado extra de que su cuadrado vale $-1$. La raíz de un negativo se escribe con lo que ya viste en [radicales](https://quede.app/aprende/matematicas/radicales). [1](#fuente-com-i) La unidad imaginaria $i$ es el número cuyo cuadrado es $-1$: $i^{2} = -1$. Si $b$ es un real positivo, $\sqrt{-b} = \sqrt{b}\, i$. Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe $a + bi$, con $a$ y $b$ reales. Si $b = 0$, el número es real. [1](#fuente-com-i) ## Ideas clave - **Suma y resta.** Se suman o se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí, como términos semejantes. El resultado queda en forma estándar. Restar un complejo cambia el signo de sus dos partes. [2](#fuente-com-sum) - **Producto.** Se multiplican como binomios, cada término por cada término, y al final $i^{2}$ se sustituye por $-1$. [2](#fuente-com-sum) - **Conjugado.** El conjugado de $a + bi$ es $a - bi$. La parte real no cambia. El producto $(a - bi)(a + bi) = a^{2} + b^{2}$ es real. [3](#fuente-com-conj) [4](#fuente-com-par) - **Cociente.** Se escriben numerador y denominador en forma estándar, se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador y se simplifica. Abajo queda un real. [3](#fuente-com-conj) - **Potencias de $i$.** $i^{1} = i$, $i^{2} = -1$, $i^{3} = -i$ y $i^{4} = 1$. El patrón se repite en bloques de cuatro. Como $i^{4} = 1$, $i^{n} = (i^{4})^{q} \cdot i^{r}$, donde $q$ es el cociente de dividir $n$ entre 4 y $r$ es el residuo. [3](#fuente-com-conj) - **Orden.** En una expresión con conjugado, corchetes y resta, se resuelve de adentro hacia afuera. El conjugado se aplica antes de restar el paréntesis que lo contiene. [2](#fuente-com-sum) ## Ejemplos resueltos ### Un producto y una resta Calcula $(2 + i)(3 - 4i)$ y $(4 - i) - (1 + 2i)$. 1. Reparte el producto: $2 \cdot 3 + 2 \cdot (-4i) + i \cdot 3 + i \cdot (-4i) = 6 - 8i + 3i - 4i^{2}$. [2](#fuente-com-sum) 2. Sustituye $i^{2} = -1$. El término $-4i^{2}$ vale $+4$. Queda $6 + 4 - 5i = 10 - 5i$. [1](#fuente-com-i) 3. En la resta, el menos cambia las dos partes: $4 - i - 1 - 2i = 3 - 3i$. [2](#fuente-com-sum) 4. Comprueba el producto: la parte real es $6 - 4(-1) = 10$, no $6 - 4$. Si hubieras tomado $i^{2} = 1$, la real habría quedado en 2. ### Una potencia y un cociente Calcula $i^{22}$ y $\frac{1 + i}{1 - i}$. 1. Divide 22 entre 4: $22 = 4 \cdot 5 + 2$. El residuo es 2, así que $i^{22} = i^{2} = -1$. [3](#fuente-com-conj) 2. Para el cociente, multiplica por el conjugado del denominador, que es $1 + i$. [3](#fuente-com-conj) 3. Arriba: $(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i$. Abajo: $(1 - i)(1 + i) = 1^{2} + 1^{2} = 2$. [4](#fuente-com-par) 4. Comprueba: $\frac{2i}{2} = i$. Es un imaginario puro, en forma estándar $0 + 1i$. ## Errores comunes Usar $i^{2} = 1$. La definición es $i^{2} = -1$. El término que trae $i^{2}$ cambia de signo al simplificar. [1](#fuente-com-i) Olvidar los productos cruzados. $(a + bi)(c + di)$ no es solo $ac + (bi)(di)$. También están $a(di)$ y $(bi)c$. [2](#fuente-com-sum) Cambiar el signo de la parte real al conjugar. El conjugado de $5 - i$ es $5 + i$, no $-5 + i$. [3](#fuente-com-conj) Creer que todo exponente impar de $i$ da $i$. Hay que mirar el residuo al dividir entre 4. Residuo 1 da $i$ y residuo 3 da $-i$. [3](#fuente-com-conj) ## Cómo lo pregunta el examen Una pregunta pide suma, resta o producto de dos complejos. En la resta, distribuye el menos a las dos partes. En el producto, escribe los cuatro términos y sustituye $i^{2}$ al final. El distractor que suma en lugar de multiplicar se nota porque no aparece un término con $i^{2}$. [2](#fuente-com-sum) Otra pide una potencia alta de $i$. Divide el exponente entre 4 y quédate con el residuo: 0 da 1, 1 da $i$, 2 da $-1$ y 3 da $-i$. [3](#fuente-com-conj) Si aparece una raya de fracción, multiplica por el conjugado del denominador. Si piden $z$ menos su conjugado, las partes reales se cancelan y queda el doble de la parte imaginaria, con el signo de la resta. El producto de $z$ por su conjugado es real: $a^{2} + b^{2}$. [4](#fuente-com-par) ## Resumen - $i^{2} = -1$, y $\sqrt{-b} = \sqrt{b}\, i$ si $b$ es positivo. - Se suman y se restan parte real con parte real, e imaginaria con imaginaria. - El producto es el de dos binomios, con $i^{2}$ sustituida por $-1$. - El conjugado de $a + bi$ es $a - bi$, y su producto es $a^{2} + b^{2}$. - Las potencias de $i$ se repiten cada 4. El residuo de dividir el exponente entre 4 dice el valor. ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Sumar, restar y multiplicar números complejos (8 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/operaciones-numeros-y-expresiones/operar-complejos) ## Dudas comunes ### ¿i al cuadrado vale 1? No. Por definición, i al cuadrado vale -1. Por eso un término con i al cuadrado cambia de signo al simplificarlo. ### ¿El conjugado también cambia el signo de la parte real? No. El conjugado de a + bi es a - bi. La parte real se queda y solo cambia el signo de la parte imaginaria. ## Se entiende mejor junto con - [El discriminante y la naturaleza de las raíces Cómo calcular b al cuadrado menos 4ac para saber si una ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales, una sola o dos complejas. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/discriminante) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis. [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-8-use-the-complex-number-system) . OpenStax, Rice University , 2020. Sección 8.8, unidad imaginaria y forma estándar · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 2. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis. [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-8-use-the-complex-number-system) . OpenStax, Rice University , 2020. Sección 8.8, suma, resta y producto · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 3. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis. [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-8-use-the-complex-number-system) . OpenStax, Rice University , 2020. Sección 8.8, conjugado, cociente y potencias de i · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 4. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis. [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-key-concepts) . OpenStax, Rice University , 2020. Cap. 8, conceptos clave, producto de conjugados · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 Actualizado el 3 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml